圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050404 三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算:选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合,将晶体电子态的波函数用此函数 集合展开,然后将电子的波函数代入薛定谔方程,确定展开式的系数所满足的久期方程,求解久期 方程得到能量本征值 电子波函数的计算:根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数,得到具体的波函数 在不同的能带计算模型和方法中,所采取的理论框架是相冋的,只是选取了不冋的函数集合。 能带理论的局限性:能带理论取得相当成功,但也有它的局限性。 一些过渡金属化合物晶体:在一些过渡金属化合物晶体,价电子的迁移率甚小,相应的自由程约 与晶格间距相当,这种情况就不能把价电子看作是晶体中所有原子共有的,周期场的描述失去意义, 在这种情况下能带理论不适用了。 非晶态固体:非晶态固体只有短程有序,液态金属的情况也是只有短程有序,这两种物质的电子 能谱显然不是长程序的周期场的结果。 电子与电子之间的作用:从多体问题的角度来看,电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替, 存在着某种形式的集体运动;同时,计及了相互作用的金属中的价电子系统,就不再能准确地用电 子气来描述了,而必须把它看成量子液体。 冖电子与晶格之间的作用:从电子和晶格相互作用的强弱程度来看,在离子晶体中电子的运动会引 起周围晶格畸变,电子带着这种畸变一起前进的。这些情况都不能简单看成周期场中单电子的运动。 §4布洛赫定理 布洛赫定理:当势场具有晶格周期性时,电子的波函数满足薛定谔方程 h V+Oly(r=Ey(r) 方程的解具有以下性质:v(F+R1)=e“v(F)--布洛赫定理,其中k为一矢量。 上式表明当平移晶格矢量R时,波函数只增加了位相因子e 根据布洛赫定理可以将电子的波函数写成:v(F)=e“"l()一布洛赫函数 l(F+R)=a4(F)具有与晶格相同的周期 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404 三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算：选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，将晶体电子态的波函数用此函数 集合展开，然后将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，求解久期 方程得到能量本征值。 电子波函数的计算：根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数。 在不同的能带计算模型和方法中，所采取的理论框架是相同的，只是选取了不同的函数集合。 能带理论的局限性：能带理论取得相当成功，但也有它的局限性。 一些过渡金属化合物晶体：在一些过渡金属化合物晶体，价电子的迁移率甚小，相应的自由程约 与晶格间距相当，这种情况就不能把价电子看作是晶体中所有原子共有的，周期场的描述失去意义， 在这种情况下能带理论不适用了。 非晶态固体：非晶态固体只有短程有序，液态金属的情况也是只有短程有序，这两种物质的电子 能谱显然不是长程序的周期场的结果。 电子与电子之间的作用：从多体问题的角度来看，电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替， 存在着某种形式的集体运动；同时，计及了相互作用的金属中的价电子系统，就不再能准确地用电 子气来描述了，而必须把它看成量子液体。 电子与晶格之间的作用：从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶体中电子的运动会引 起周围晶格畸变，电子带着这种畸变一起前进的。这些情况都不能简单看成周期场中单电子的运动。 §4.1 布洛赫定理 布洛赫定理：当势场具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程： ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 2 V r r E r m = K K K − ∇ + ψ = ψ 方程的解具有以下性质： (r R ) e (r) Rn ik n K K K K K ψ ψ⋅ + = —— 布洛赫定理，其中 k K 为一矢量。 上式表明当平移晶格矢量 Rn K 时，波函数只增加了位相因子 Rn ik e K K ⋅ 根据布洛赫定理可以将电子的波函数写成： (r) e u (r) k K ik r K K K ⋅ ψ = —布洛赫函数 —— u (r R) u (r) k k K K K + = 具有与晶格相同的周期。 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH