圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050404 布洛赫定理的证明 布洛赫定理的证明岀发点:先说明平移算符的性质,证明平移算符与哈密顿算符对易,两者具有相 同的本征函数。然后利用周期性边界条件确定平移算符的本征值,最后给出电子波函数的形式 势场的周期性反映了晶格的平移对称性,即晶格平移任意矢量Rm=ma1+m22+m3a3时,势场 是不变的,其中a1,a2,a3三个方向上的基矢。 在晶体中可以引入描述这些平移对称操作的算符:T1,T2,73。 对于平移任意晶格矢量:Rn=m1a1+m2a2+m2a3 对应的平移算符:T(Rn)=T(a1)72(a2)7"(a3) 平移算符T性质 作用于任意函数∫(F)有:Tf(P)=f(F+an)--a=1,2,3,a1,a2,a3三个方向上的基矢 将平移算符T作用于周期性势场:T。(F)=V(F+a)=F(F) 各平移算符之间对易 对于任意函数f(7): TaTB(F)=af(F+aB),TBf(F)=f(F+a+a) TalES()=7f(F),所以:TaTB=--各平移算符对易 平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数:TH()=-bv3+(+a,(F+an) 其中V2只表示相应的 ar’o,中变数x,y,z改变一个常数,显然不影响微分算符。 所以:TH(=h232+(F(+an)=∥(F+an)=HTf() 2m 即:T。H-HT=0 平移算符和哈密顿算符对易。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404 布洛赫定理的证明 布洛赫定理的证明出发点：先说明平移算符的性质，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相 同的本征函数。然后利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式。 势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意矢量 1 1 2 2 3 3 R m a m a m a m K K K G = + + 时，势场 是不变的，其中 a1, a2 , a3三个方向上的基矢。 K K K 在晶体中可以引入描述这些平移对称操作的算符：T1 , T2 , T3。 对于平移任意晶格矢量： 1 1 2 2 3 3 R m a m a m a m K K K G = + + 对应的平移算符： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 T R T a T a T a m m m m K K K K = 平移算符Tα性质 作用于任意函数 f (r )有： K ( ) ( ) α α T f r f r a K K K = + —— α =1, 2, 3， 1 2 3 a , a , a K K K 三个方向上的基矢 将平移算符Tα作用于周期性势场：T V (r) V (r a ) V (r) K K K K α = + α = 各平移算符之间对易 对于任意函数 f (r )： K ( ) ( ) α β α aβ T T f r T f r K K K = + ， ( ) ( ) α β aα aβ T T f r f r K K K K = + + T T f (r) T T f (r) K K α β = β α ，所以：TαTβ = TβTα —— 各平移算符对易。 平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数 f (r ) K ： ( )] ( ) 2 ( ) [ 2 2 α α α α V r a f r a m T Hf r r a K = K K K K = − ∇ + K + + + 其中 只表示相应的 2 r aα K ∇ + z , y , x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 中变数 x, y, z 改变一个常数，显然不影响微分算符。 所以： ( )] ( ) ( ) ( ) 2 ( ) [ ˆ 2 2 V r f r a Hf r a HT f r m T Hf r r K = K K K K K K α = − ∇ + + α = + α = α 即：TαH − HTα = 0 —— 平移算符和哈密顿算符对易。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH