圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050404 由于存在对易关系,根据量子力学可以选取H的本征函数,使它同时成为各平移算符的本征函数。 y=ey 有:=v,TW=2y,TW=Ay 本征值的确定:λ1,22,A y(r)=v(r+Ma,) 引入周期性边界条件:{v(F)=v(F+N2a2) y(r=y(r+N,a,) N1,N2,N3分别是沿a1,a2,a3三个方向上的原胞数目 总的原胞数:N=N1·N2·N3 对于:v(F)=(F+Na1),v(F)=TNv(F)=xv(F) 对于:v(F)=v(F+N2a2),v(F)=T2v(F)=2v(F) 对于:v(F)=v(F+N2a),v()=7v()=xyv(F) 得到:A1=e,2 1,l2l为整数。 如果引入矢量:k=+五 b3—-bb2b为倒格子基矢,且满足:a1·b=2n6 则平移算符T1,T2,T3的本征值可以表示为:=e,2=e吗 将T(Rn)=m1(a1)2(a2)T(a3)作用于电子的波函数v(F T(R)(F)=v(F+Rn)=Tm(a1)(a2)Tm(a2)y(F) y(r+R)=i122mv(r)=e ,m面+m:+mvy(F) 所以:v(F+Rn)=ev(F)--布洛赫定理 显然电子的波函数可以写成:v(F)=e"u4(F) 洛赫函数 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404 由于存在对易关系，根据量子力学可以选取 H 的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数。 有： 1 1 2 2 3 3 , , H E T T T ψ ψ ψ λψ ψ λψ ψ λψ = = = = 本征值的确定： 1 2 3 λ , , λ λ 引入周期性边界条件： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 r r N a r r N a r r N a K K K K K K K K K ψ ψ ψ ψ ψ ψ —— N1, N2 , N3 分别是沿 a1, a2 , a3三个方向上的原胞数目。 K K K 总的原胞数： N N1 N2 N3 = ⋅ ⋅ 对于： ( ) ( ) 1 1 r r N a K K K ψ =ψ + ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 r T r r K N K N K ψ = ψ = λ ψ 对于： ( ) ( ) 2 2 r r N a K K K ψ =ψ + ， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 r T r r K N K N K ψ = ψ = λ ψ 对于： ( ) ( ) 3 3 r r N a K K K ψ =ψ + ， ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 r T r r K N K N K ψ = ψ = λ ψ 得到： 3 3 2 2 1 1 2 3 2 2 2 1 , , N l i N l i N l i e e e π π π λ = λ = λ = —— l l 1 2 , , l3 为整数。 如果引入矢量： 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b N l b N l b N l k K K K K = + + —— 1 2 3 b , b , b K K K 为倒格子基矢，且满足：ai bj = 2πδ ij ⋅ K K 则平移算符T1, T2 , T3 的本征值可以表示为： 1 2 3 1 2 3 , , ik a ik a ik a e e e K K K K K K ⋅ ⋅ ⋅ λ = λ = λ = 将 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 T R T a T a T a m m m m K K K K = 作用于电子的波函数 (r ) K ψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 r R r e r T R r r R T a T a T a r m m m ik m a m a m a m m m m m m K K K K K K K K K K K K K K K K ψ λ λ λ ψ ψ ψ ψ ψ ⋅ + + + = = = + = 所以： ( ) ( ) ik Rm m ψ r R e ψ r ⋅ + = K K K K K ( ) ( ) ik r k r e u r —— 布洛赫定理 显然电子的波函数可以写成：ψ ⋅ = K K K K —— 布洛赫函数 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH