由于在无耦合表象,「j,≠0.「,21≠0,故户不是对角阵,不利于求解户本征值 由于 [[[2匀[ J,J22有共同本征矢|m),构成耦合表象 Mm)=(1+1)22m),J22m)=2(2+1)h2|2m) m)=j(+1)h22m),J:|1m)=mhm) 在耦合表象,j2,J是对角阵,本征值就是对角元。由于已知的是元2元=,2,2的本 征值和本征矢,为了用它们来表示总角动量J2,J的本征值,必须联系两个表象,即进行 表象变换 由无耦合表象的完备性条件 ∑|mm2)mm1=1, 有表象变换: im)=∑|mm2)(mm22m) 有耦合表象基矢两,m2 m1J2m2 J1J2Ji m,m表象变化矩阵元, Clebsch- Gordon系数无耦合表象基矢 2)糈合表象的本征值(j,m) 将上式用J作用, |im)=∑(mmm)(:+2=)mm), mh∑{mm1|1m)1mm2)-∑(m+m)h(mm12m)mm)=0 在无耦合表象中,基矢|jmn1m2)是相互独立的,故上式存立的条件是每个基矢前的系数都 必须等于零。即要么CG系数=0,要么认为m是m,m2的函数, 我们要求的就是不等于零的CG系数,因此取m=m+m2。由于在无耦合表象，⎢ ⎥ 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , 0, , z J J J J ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≠ 0 z ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ≠ G G ˆ 2 ，故 J G 不是对角阵，不利于求解 2 本征值。 ˆ J G 由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,,, , , z z z J J J J J J J J J J J J ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = = = = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ G G G G G G G G G = 0， 2 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , z J J J J G G G 有共同本征矢 1 2 j j jm ，构成耦合表象： ( ) 2 2 1 1 2 1 1 1 2 ˆ J j j jm = + j j 1 j j jm G = ， ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ˆ J j j jm = + j j 1 j j jm G = ( ) 2 2 1 2 1 2 ˆ J j j jm = + j j 1 j j jm G = ， 1 2 1 2 ˆ z J j j jm = m= j j jm 在耦合表象， 是对角阵，本征值就是对角元。由于已知的是 的本 征值和本征矢，为了用它们来表示总角动量 ˆ 2 ˆ , z J J G 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ , , , z z J J J J G G ˆ ˆ 2 ˆ , z J J G 的本征值，必须联系两个表象，即进行 表象变换。 由无耦合表象的完备性条件 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1 m m ∑ j m j m j m j m = ， 有表象变换： 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , Clebsch Gordon m m m m j j jm j m j m j m j m j j jm j m j m j j jm j m j m − = = ∑ ∑ 有耦合表象基矢 表象变化矩阵元， 系数 无耦合表象基矢 2）耦合表象的本征值( ) j,m 将上式用 J ˆ z 作用， ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , ˆ ˆ z z m m ˆ z J j j jm = + ∑ j m j m j j jm J J j m j m ， ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 , , 0 m m m m m= = ∑ ∑ j m j m j j jm j m j m − + m m j m j m j j jm j m j m = 在无耦合表象中，基矢 1 1 2 2 j m j m 是相互独立的，故上式存立的条件是每个基矢前的系数都 必须等于零。即要么 CG 系数=0，要么认为m 是m1,m2 的函数， 2 m m= +1 2 m ， 我们要求的就是不等于零的 CG 系数，因此取m m= +1 m 。一一一 2