第1章有限单元法基本程式 对于平面应变问题，只要把上述各式中的E换成E/1-),把y换成/(1-) 即可。 1.3.3单元刚度矩阵 从平衡结构中取出的单元也是平衡的。显然，在与其相邻单元的公共边界面 上作用有分布力。此外，单元上就不再有其他力了（因为在有限单元法中，作用于 单元上的全部荷载都要按照等效的原则转化为作用于节点上的等效节点荷载)。 对于平衡的单元来讲，上述边界上的分布力显然是平衡的外力系，并与单元 的内部应力相对应。为方便起见，用等效的单元节点力来代替这些分布力。图 1.3所示为T,单元边界上的分布力和节点力。这样，单元节点力就与单元内部 应力相对应。节点力可理解为节点对单元的作用力。显然，对于单元而言，节点 力是外力；而对于整体结构来说，节点力则是内力。 1--U 图1.3单元节点力 2 根据虚位移原理，可建立单元节点力与节点位移之间的关系即单元刚度方 程，从而得单元刚度矩阵。虚位移就是任意的、微小的可能位移，虚位移原理可 表述如下：如果在虚位移发生之前物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外 力所做虚功等于物体的虚应变能。现假定单元®发生虚位移，根据式(1.9)有 ou Noa (a) 其中，6a为单元节点虚位移向量。按式(1.13)，单元的虚应变为 8=Boa 6) 将虚位移原理应用于该单元，则单元节点力所做虚功等于单元的虚应变能，即 BaTF=BeTado (e) 其中，为单元体积域：F为单元节点力向量。例如，对于T3单元有 Fi= ∫U (i=1,2,3) F3) 对于平面应变问题，只要把上述各式中的Ｅ 换成Ｅ／（１－ν２），把ν换成ν／（１－ν） 即可。 １３３ 单元刚度矩阵 从平衡结构中取出的单元也是平衡的。显然，在与其相邻单元的公共边界面 上作用有分布力。此外，单元上就不再有其他力了（因为在有限单元法中，作用于 单元上的全部荷载都要按照等效的原则转化为作用于节点上的等效节点荷载）。 对于平衡的单元来讲，上述边界上的分布力显然是平衡的外力系，并与单元 的内部应力相对应。为方便起见，用等效的单元节点力来代替这些分布力。图 １３所示为Ｔ３单元边界上的分布力和节点力。这样，单元节点力就与单元内部 应力相对应。节点力可理解为节点对单元的作用力。显然，对于单元而言，节点 力是外力；而对于整体结构来说，节点力则是内力。 图１３ 单元节点力 根据虚位移原理，可建立单元节点力与节点位移之间的关系即单元刚度方 程，从而得单元刚度矩阵。虚位移就是任意的、微小的可能位移，虚位移原理可 表述如下：如果在虚位移发生之前物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外 力所做虚功等于物体的虚应变能。现假定单元ｅ发生虚位移，根据式（１９）有 δｕ＝Ｎδａｅ （ａ） 其中，δａｅ 为单元节点虚位移向量。按式（１１３），单元的虚应变为 δε＝Ｂδａｅ （ｂ） 将虚位移原理应用于该单元，则单元节点力所做虚功等于单元的虚应变能，即 δａｅＴＦｅ ＝∫Ω ｅδεＴσｄΩ （ｃ） 其中，Ωｅ 为单元体积域；Ｆｅ为单元节点力向量。例如，对于Ｔ３单元有 Ｆｅ＝ Ｆ１ Ｆ２ Ｆ 烅 烄 烆 烍 烌 ３烎 ， Ｆｉ＝ Ｕｉ Ｖ 烅 烄 烆 烍 烌 ｉ烎 （ｉ＝１，２，３） ８ 第１章 有限单元法基本程式