1.3单元分析 将式a)和b)代入式(c),得 BDBadd 由于虚位移是任意的，等式两边与6T相乘的矩阵应当相等，从而得到单元刚 度方程 r=∫aB'dn 或Fe=Ka 1.17) 其中，K称为单元刚度矩阵，其表达式为 K-BDBdo 1.18) 在平面问题中，被积函数与之坐标无关，故有 BDBrdedyds DBdrdy 其中，A~为单元面积域：t为单元厚度。如果单元的材料是均质的，则矩阵D中 的元素是常量：如果单元厚度也是常量，再注意到ddy=A,则有 [k1k12k13 K=BTDBtA=k21 k22 k23 Lk31 k32 k33 对于平面应力问题，子矩阵为 E ko=BIDBA=4-)A i=1,2,3:j=1,2,3) 单元刚度矩阵是6×6阶矩阵。为研究其性质，将单元刚度方程1.17)写成 下述形式 k11 k12k13 k14 k16 k21 k22 k23 k24k25 k26 k32 k33 k34 k35 k西 u2 (d) k41 k42 k43 k44 k45 v2 U: k51 k52k53k54k55 us V; k61 k62 k6k64k65 k66v3将式（ａ）和（ｂ）代入式（ｃ），得 δａｅＴＦｅ ＝δａｅ ∫Ｔ Ω ｅＢＴσｄΩ ＝δａｅ ∫Ｔ Ω ｅＢＴＤＢａｅｄΩ 由于虚位移是任意的，等式两边与δａｅＴ相乘的矩阵应当相等，从而得到单元刚 度方程 Ｆｅ ＝∫Ω ｅＢＴσｄΩ 或 Ｆｅ ＝ Ｋｅａｅ （１１７） 其中，Ｋｅ 称为单元刚度矩阵，其表达式为 Ｋｅ ＝∫Ω ｅＢＴＤＢｄΩ （１１８） 在平面问题中，被积函数与ｚ坐标无关，故有 Ｋｅ ＝ Ω ｅＢＴＤＢｔｄｘｄｙｄｚ＝Ａ ｅＢＴＤＢｔｄｘｄｙ 其中，Ａｅ 为单元面积域；ｔ为单元厚度。如果单元的材料是均质的，则矩阵Ｄ 中 的元素是常量；如果单元厚度也是常量，再注意到Ａ ｅｄｘｄｙ＝Ａ ，则有 Ｋｅ＝ＢＴＤＢｔＡ＝ ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ ｋ３１ ｋ３２ ｋ 熿 燀 燄 ３３燅 对于平面应力问题，子矩阵为 ｋｉｊ＝ＢＴ ｉＤＢｊｔＡ＝ Ｅｔ ４（１－ν２）Ａ ｂｉｂｊ＋１－ν ２ ｃｉｃｊ νｂｉｃｊ＋１－ν ２ ｃｉｂｊ νｃｉｂｊ＋１－ν ２ ｂｉｃｊ ｃｉｃｊ＋１－ν ２ ｂｉｂ 熿 燀 燄 ｊ燅 （ｉ＝１，２，３； ｊ＝１，２，３） 单元刚度矩阵是６×６阶矩阵。为研究其性质，将单元刚度方程（１１７）写成 下述形式 Ｕ１ Ｖ１ Ｕ２ Ｖ２ Ｕ３ Ｖ 烅 烄 烆 烍 烌 ３烎 ＝ ｋ１１ ｋ１２ ｋ１３ ｋ１４ ｋ１５ ｋ１６ ｋ２１ ｋ２２ ｋ２３ ｋ２４ ｋ２５ ｋ２６ ｋ３１ ｋ３２ ｋ３３ ｋ３４ ｋ３５ ｋ３６ ｋ４１ ｋ４２ ｋ４３ ｋ４４ ｋ４５ ｋ４６ ｋ５１ ｋ５２ ｋ５３ ｋ５４ ｋ５５ ｋ５６ ｋ６１ ｋ６２ ｋ６３ ｋ６４ ｋ６５ ｋ 熿 燀 燄 ６６燅 ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２ ｕ３ ｖ 烅 烄 烆 烍 烌 ３烎 （ｄ） １３ 单 元 分 析 ９