10 第1章有限单元法基本程式 1)k,的物理意义 k,即单元节点位移向量中第)个自由度发生单位位移而其他位移分量为零 时，在第i个自由度方向引起的节点力。 2)K的对称性 根据功的互等定理，1=1时产生的节点力V,等于1=1时产生的节点 力U,即k21=k2。更一般地，有k=k。故K是对称矩阵。事实上，从式 1.18)很容易看出K的对称性。 3)K的奇异性 当单元所有节点位移分量均发生单位位移时，由式()得 U1=k1+k12+k13+k14+k15+k16 V3=k61+k62+k63+k64+k65+k6 由于上述位移属于单元刚体移动，故所有节点力分量应均为零。于是，单元刚度 矩阵中任何一行元素的代数和等于零。由对称性可知，任何一列元素的代数和 也等于零。可见，单元刚度矩阵的行列式为零，即是奇异的。 1.3.4等效节点荷载 离散体系的平衡分析是在节点上进行的，因此需要把作用在单元体上的非 节点荷载化成等效节点荷载。集中力作用点通常都被取做节点，因此荷载移置 的任务是将体力和面力按照静力等效的原则化成节点荷载。所谓静力等效就 是，原荷载与移置后的节点荷载在虚位移上的虚功相等。 当单元发生虚位移时，体力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚 功，即 iaPr=ou fd 其中，P为单元的体力等效节点荷载。将=Na°代入上式，并注意到虚节 点位移的任意性，得 P=NTfan 1.19) 在平面问题中，有 Nndzdy (a 当单元发生虚位移时，面力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚 功，即 （１）ｋｉｊ的物理意义 ｋｉｊ即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零 时，在第ｉ个自由度方向引起的节点力。 （２）Ｋｅ 的对称性 根据功的互等定理，ｕ１＝１时产生的节点力 Ｖ１ 等于ｖ１＝１时产生的节点 力Ｕ１，即ｋ２１＝ｋ１２。更一般地，有ｋｉｊ＝ｋｊｉ。故 Ｋｅ 是对称矩阵。事实上，从式 （１１８）很容易看出 Ｋｅ 的对称性。 （３）Ｋｅ 的奇异性 当单元所有节点位移分量均发生单位位移时，由式（ｄ）得 Ｕ１＝ｋ１１＋ｋ１２＋ｋ１３＋ｋ１４＋ｋ１５＋ｋ１６ … Ｖ３＝ｋ６１＋ｋ６２＋ｋ６３＋ｋ６４＋ｋ６５＋ｋ 烍 烌 ６６烎 由于上述位移属于单元刚体移动，故所有节点力分量应均为零。于是，单元刚度 矩阵中任何一行元素的代数和等于零。由对称性可知，任何一列元素的代数和 也等于零。可见，单元刚度矩阵的行列式为零，即是奇异的。 １３４ 等效节点荷载 离散体系的平衡分析是在节点上进行的，因此需要把作用在单元体上的非 节点荷载化成等效节点荷载。集中力作用点通常都被取做节点，因此荷载移置 的任务是将体力和面力按照静力等效的原则化成节点荷载。所谓静力等效就 是，原荷载与移置后的节点荷载在虚位移上的虚功相等。 当单元发生虚位移时，体力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚 功，即 δａｅＴＰｅ ｆ ＝∫Ω ｅδｕＴ ｆｄΩ 其中，Ｐｅ ｆ为单元的体力等效节点荷载。将δｕ＝Ｎδａｅ 代入上式，并注意到虚节 点位移的任意性，得 Ｐｅ ｆ ＝∫Ω ｅＮＴ ｆｄΩ （１１９） 在平面问题中，有 Ｐｅ ｆ ＝Ａ ｅＮＴ ｆｔｄｘｄｙ （ａ） 当单元发生虚位移时，面力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚 功，即 ０１ 第１章 有限单元法基本程式