§2数集·确界原理 8.设a>0,a≠1,x为有理数,证明 spy为有理数 mrp为有理数r<x当<1 证首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来不妨设a>1,需证: (i)Vr<x,r为有理数,a'^≤ax; (i)va<a2,彐有理数r,r<x,使得a<a'<a2. 因为rx都是有理数,由有理数指数性质可得(i).再证(i,因为0<a<a2,所以lg。a<x, 由有理数的稠密性,彐有理数r,log,a<r<x,于是a<a<a2 同理可证0<a<1的情形§2 数集·确界原理 8．设 a>0,a≠1,x 为有理数，证明：              = inf , , 1. sup , , 1, a r r x a a r r x a a r r x 为有理数 当 为有理数 当 证 首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来.不妨设 a>1，需证： （i） r  x，r 为有理数， r x a  a ； （ii） x r x   a ,有理数r,r  x,使得  a  a . 因为 r,x 都是有理数，由有理数指数性质可得（i）.再证（ii），因为 x 0   a ，所以 x log a   ， 由有理数的稠密性，  有理数 r， r x log a    ，于是 r x   a  a . 同理可证 0<a<1 的情形