Vol.19 No.5 李安贵等：两类三阶线性微分方程的降阶条件 ·523· 的基本解组，则三阶线性方程 d'y dy +[4"(2=0 (15) 的通解可表为： C+C)ei di+C (16) 证明：注意到方程(15)可变形为： [陪+《小-2o[密+《0]-0 从而，有： dy +A《0y台2) z"(0-2Ar(0z0=0 由此即知引理3成立， 现在，再寻求1种自变量代换，以期方程(1)经此代换可转化为方程(15)的形式.为此，在 方程(3)中，令：0=0，(0[p(]-3=A"(0-2A(0A"(0即： p"()p(xp”(为+q(对p'(对=0 (17) r()[p'(]3=A"()-2AgA(0 (18) 首先，在(17)式中令p()=v,并取 q(=p'( (19) 则有v+p小=0，解之，可得v=eCc咖dx+G这里，要求C+C≠0.为 简单，不妨取C=0,C2=1,于是得到： 1=p(e-fnos dx (20) 这就是所需要的自变量代换，再将其代人(4)式，又可得到 A(i)=-2p(elpodx (21) 及 4网=股0-20'闭+pe咖 (22) A"()-2A)A'()=-2[p"()+8p(x)p()+6p(]e3a (23) 在(2I),(2),(23)3式中，均以：=p()=e1r之反函数代人.最后，由式(18)又可得： r()=-2[p"()+8p(9p'()+6p(] (24) 反之，也可以证明：满足条件(19)及(24)的三阶线性方程(1)经变量代换(20)能化为形如 (15)的三阶线性方程 dr2p()elra dy dF-2"(y+8p(p'()+6p(aey=0 (25) 综上所述，可得定理2.V 0 1 . 19 N d . 5 李安贵等 : 两类三 阶线性微分方 程的降阶条件 的基 本解 组 , 则 三 阶线性 方程 豁 · (A 。豁 · A[ ’,( 。 一 2 (A。 , 、 )t] , 一 。 , 一 `一 IJ ( c l· l + : : ) · `一 d ! + c3 」 ( 15 ) 的通 解可 表为 : ( 16 ) 证明 : 注 意到方 程 ( 1 5) 可 变形 为 : 刹祭 · x()A 刁 一 ZA tI<,[ 祭 · ()tA * ] 一 0 , 从而 , 有 : {业 、 { “ ` ’ t z ” (t) (A t) y 会 戏t) 一 Z A义t) 式t) = 0 由此 即知 引理 3 成立 . 现在 , 再寻 求 1 种 自变 量代 换 , 以 期方程 ( l) 经此 代换 可转 化为 方程 方 程 (3 ) 中 , 令 : 筑 t) 二 o , r (t) 〔沪 ,( x) ] 一 ’ = 才 , (t) 一 2 (A t) 才 (t) 即 : 沪 ` , , (x) 夕(x) 沪 ” ( x) + 叮(x) 沪 ` (x) = 0 (r x) 〔沪 ’ ( x) ] 一 , = ’A ,( x) 一 2 (A )t 才 ()t 首先 , 在 ( 17) 式 中令沪 ,( x) = , , 并 取 q (x) = P ’ (x) ( 1 5) 的形式 . 为此 , 在 ( 17 ) ( 18 ) 则 有 〔一 + (x)P ’v] 一 。 , 解 之 , 可得 一 俩 。 } 。丁 ·俩 。 、 + : 」 · 这 里 , 要 求。 : + c : ( 19 ) 羊 0 . 为 简单 , 不 妨取 C , 二 0 , q = 1 , 于是 得到 : 、 ., 护、户. 0 1 .1 ù`, 、了. 、 .、2 ` 一 , (x) 一 J 一 `一、 这就是所 需要 的 自变量 代换 . 再 将其代 人 ( 4) 式 , 又可得 到 (A t) 一 助x() e 扭抽 及 , , (、 一 芸瓮一 2。 , (x) + , 2 (x) , e Z` · `” dx A ` ()rt 一 2 (A )t A ’ ()t = 一 2助 ` 义x) + 8P x() ’(P x) + 6P ’ x() ] e’ xn()j dx “ ( 2` ) , ( 2 2 ) , (2 3 ) , 式 中 , 均 以 才 一 , (、 一 丁 。 一 ` p ( % 之反 函 数代人 · 最 后 , (2 2 ) (2 3) 由式 ( 18) 又可 得 : r (x) = 一 2助 , , ( x) + 8P ( x) 夕 ’ ( x) + 6P , (x) ] (2 4 ) 反之 , 也 可 以 证 明 : 满足 条件 ( 19) 及 ( 2 4) 的三 阶线性 方程 l( ) 经变 量代 换 ( 2 0) 能 化为 形如 l( 5) 的三 阶线性 方程 d加 _ _ _ , _ 。 月具加 _ r _ _ _ ` _ ` _ _ , _ _ , , f _ , 诵 月 _ 二万 一 动(x) eJ “ 回 “ 七万 一 2切 r r( x) + 印(x) P ` (x) + 如 “ (xj J e J ’ 八一y = 0 U 不 Q l ( 2 5 ) 综上 所述 , 可 得定 理 2