·522· 北京科技大学学报 1997年第5期 人)的充分必要条件是： p”因+2p(时b(网+号p)-9(1=3g()-2认1 (11) 证明：方程(1)经代换式(9)可化为方程 正+ig对-p-出 d'y di+r(x)elrary =0 (12) 必要性：设方程(12)即为（⑦），则由式(10)可知，条件(11)成立. 充分性：设条件(11)成立，则由 e-r-pr-p-p+号9]e [go-p'-音pr+号ot-pr因-号pt)]小e= o肉-号iw]e-c闲-pow-ptem] 即知方程(12)就是方程(7). 定理1及引理2表明，满足条件(11)的三阶线性方程(1)是1种可降阶方程，其通解可由 二阶线性方程(6)，即： (13) (其中x以1=p(的=厂eatd的反函数代人)的基本解组给出. 例求解y"+”1中少 8x 1+少=0 解：易知所给方程满足条件(11).由 [u网-吉p四-号]e=-41+2的=-40+2g0: 2 可知（传之相应的）方程(0)为普-(1+2g动：=0.即：华sc9° dF-ec12=0.此二阶线性方程 的基本解组为u=secl,v=sinl+1sect,故所给方程的通解为： y=C,sec't+C,sect (sint tsect)+C(sint t sect)= C,(l++C,x+(l+)Darct+十x+(0+r7acg对 3方程(1)的第2种可降阶新类型 引理3如果z(④，乙()是二阶线性方程 ”-2A'(0)z=0 (14)北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 7年 第 5期 人 ) 的充 分 必要条 件是 : 2 p ” ( x) + 翔 ( x) 沙 ` (Xj + 天 p ` (x) 一 q (xj J = j l q ’ ( x) 一 艺r ( x) J , ( 1 1) 证明 :方 程 l( ) 经代 换 式 (9) 可 化为方 程 豁 · 〔、 (x) 一 合 , , (x) 一 昌 , 2 (x) 」·蚤`一“ 宗一 (x) · `一 夕 一 。 ( 12 ) 必要 性 : 设方程 ( 1 2) 即为 ( 7) , 则 由式 ( 10) 可 知 , 条 件 ( 1 1) 成立 . 充分 性 : 设条件 ( 1 ) 成立 , 则 由 犷 ( x) · , 一告l 。 , (x) 一 合 , , , (x) 一 号 , ( x) , , ( x) 一 去 , 3 ( x) + 号 , (x) 、 (x) 1 · ` 尸 (一 告l ( 、 , (x) 一 合 , , , (x) 一 普 , (x) , , ( x) 卜 号 : (x) ( 、 (x) 一 合 , , (x) 一 号 , 2 (x) ) 」 · `一 合最! (。 (x) 一 告 , , (x) 一 香 , 2 ( x) ) ·号, · “ dx」 ·奋` ·`” “ 一 告录l ( 、 (x) 一 奋 , , (x) 一 号 , 2 (x) ) ·号` ·`” dx」 即知 方程 ( 1 2 )就是方 程 (7 ) 定理 1及 引理 2 表 明 , 二 阶线性 方程 (6 ) , 即 : d Z z 满足 条件 ( n ) 的三 阶线性 方程 (l ) 是 1 种 可降 阶方 程 , 其 通解 可 由 壹} a(x) 一 合 , x,() 一 昌 , x()z 1渺气 一 。 ( 13 ) (其 中 x 以 t 二 抓 x) 号` p (” “ 诫 反 函数 代人 )的基 本解 组给 出 . 例 : 求解夕川 + 了一万 y 十 X 2 l + 犷 8 X ( l + 犷) , y = 0 一时 ! x 一6 解 : 易 知所给 方程 满足条 件 ( 1 ) . 由 f 一 上「竺上 dx _ 「 dx = le ’ ` ’ + ` 山 二 ! 丁二一一万 = a er gt x, J J l 十 X 「 、 (、 一 粤 , , (、 一 县 , 2 (、 1 。蚤` 刀 “ 一 4 ( 1 + 2、 ) 一 4 (卜 2 堪 2。 , L J , 」 _ . 、 , _ _ , , 、 、 _ _ _ _ _ 、 , d Z z _ 。 _ 叫 知 ( 与 乙相 压 的 少万性 ( l 习 刀 : 下下 一 ( 1 + Z gt 一 t) 艺 = U, Q f 。 。 d Z z 以p : 二 , 不 . 一 d 犷 ( s e e t) “ S C C t : = 0 . 此 二 阶线性 方程 的基 本解 组 为 “ = s ce t , 、 = is nl 十 t s e t , 故 所给 方程 的通解 为 : , = C l s e e Z t + 矶 s e c r ( s i n r + t s e e l) + 砚( s i n r + t s e e )t ’ - e . (卜 、 ) + : 【· + ( 1 + 、 ) aer 、 x] + 击 〔 · + (卜 、 )一、 x] 2 3 方程 (1 ) 的第 2 种可降阶新类型 引理 3 如果 几()t , 几 ()t 是二 阶线 性方程 : ` , 一 Z A ` ( t) z = 0 ( 14 )