Vol.19 No.5 李安贵等：两类三阶线性微分方程的降阶条件 ·521· 证明：先证，uw,v2都是方程(7)的解.这里，只就y,=uv给出证明.事实上， y"+2Q(0y,+Q'(0y1=[u"v+3u"v'+3u'v"+uv"m+2Q(0[u'v+uv']+Q')uw= 22u"+0d+22w"+0J+[2u"+0d'+iu2w"+0=0 再证2，uv,v2的Wronsky行列式M)(在所论区间上)恒不为0.事实上，根据行列式的性 质，容易推得 u v )= 丰 u'v' 引理2的意义在于，求解三阶线性方程（⑦）的问题，可经求解二阶线性方程(6)得到解决 现在，来寻求一种自变量代换1=p(),以期方程(I)经过此代换可转化为方程(7)的形 式.为此，在方程(3)中，同时令 4A0=0及lp-5=B0 即： 3p"()+p(p'(=0 r(9 1dp"(9+p(9p"(因+q(9p'() (8) Lp'()=2 di [p'(x 以待定所需要的代换，并探讨()，q()及()之间应满足的条件. 由式(8)的第1式，可得所需要的自变量代换 1=p=∫er (9) 将其代入式(8)的第2式，又可得： e-引 qw-p-号inw] (10) 经整理化简，便得()，q()及r()之间应满足的条件： 2的=q因-p"(因-号rop'因-p+号(n 由此可得定理1. 定理1三阶变系数线性微分方程(I)经自变量代换 1=p(x)=e dx 可化为方程 d'y dy d+220+Q'(y=0 (其中，Q0=的-p'(的-号p]e,而x以1=p=∫end之反函数代V o l . 19 N o . 5 李安贵等 : 两类三 阶线性微分方程 的降阶条件 证 明 : 先 证犷 , 。 ; , 矿都是 方程 (7) 的解 · 这里 , 只就 y , = 。 ; 给 出证 明 . 事 实上 , 夕1 ’ ` + Z Q( )t 夕 ` ; + Q , ( t) 夕1 = [ u ’ , , v + 3 u ` , v ` + 3 u ` v ’ , + 。 、 ’ , 〕 + ZQ( t) [ 。 , 、 + 。 v , ] + Q , ( l) 。 、 - 告 : 2一 + 。( 。 · 〕 , · + 告 · 〔2一 + 。 (。 · 〕 , + 号 〔2一 + 。 (。 · 】一 + 号 一 【Z v ” + Q( t) v』= 0 再证 “ , , 。 v , v Z 的 w or ns ky 行列 式 峨x) (在所 论 区 间上 ) 恒 不 为 0 . 事 实上 , 根据 行列式 的性 质 , 容易 推得 羊 O ,、 , 。 一 引 … 理 2 的意义 在 于 , 求 解三 阶线性 方程 现 在 , 来 寻求 一种 自变 量 代换 t = 以x) , 式 . 为 此 , 在 方程 (3 ) 中 , 同时令 (7 ) 的问题 , 可经求 解 二 阶线性方 程 (6) 得到解 决 . 以 期方 程 ( l) 经过 此 代 换可 转 化 为 方程 ( 7) 的形 (A O = 0 及 (r x) 〔沪 ,( x) ] 一 ’ 二 工刀 , (。 2 一l2 { ’ 沪期 + 」 L L甲 Lx) , P (x) 沪 ` (x) = 0 票「些丝业单华零里业竺{ ( 8 , ~ L L尹 气x) 」 」 以待定所 需要 的代换 , 并 探 讨尸(x) , q( x) 及 (r x) 之 间应 满足 的条件 . 由式 ( 8) 的第 1 式 , 可得 所需 要 的 自变量 代换 t = 沪(x) ( 9 ) 将其 代 人式 ( 8) 的第 2 式 , 又可 得 : r (x) e ] p (劝dx = 工旦「 2 d t L ( q (x) 一 J e 一 争 p (x) 、 一 告 , , (x) 一 香 , 2 (x) ) ·番`一山 1 ( 10 ) 经整理 化 简 , 便饰(x) , q( x) 及 (r x) 之 间应满 足 的条 件 : 2 (x)r 一 、 , x() 一 粤 , ” x() 一 寻x()P , , x() 一 共 : ax() 、 寻 , x() 。 x() 〕 J ` I J 由此可 得定 理 1 . 定 理 l 三 阶变系 数线 性微分 方程 l( )经 自变 量代换 一 尹(力 一 丁 一 如 p (· ha _ _ 咖 + ZQ()t而 + Q r ( )t y = U t 。 一y 飞 f . 一dd 可化 为方 程 (其 中 , Q ()t 一 喜r 、 (、 一 粤 , , (、 一 县 , 2 (、 1 。枷 \ , 而 二 以 , 一 , (、 一 卜 一 知ha 之 反 函 数代 乙 L J , J J