从(5)出发，再把)一位一位地向右移动，经过s次相邻位置的对换，排列(5)就变成排列 (4)。因之，J,k对换可以通过2s+1次相邻位置的对换来实现。2s+1是奇数，相邻位置的对 换改变排列的奇偶性。显然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性： 定理2任意一个n级排列与排列12”都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个 数与这个排列有相同的奇偶性。 证明对排列的级数作数学归纳法，来证任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成 12.n 1级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对n-1级排列已经成立，现在来证对n级排列的情形结论也成立。 设j2…jn是一个n级排列，如果jn=n,那么根据归纳法假设，n-1级排列j2jn 可以经过一系列对换变成12n-1,于是这一系列对换也就把…jn变成了12n。如果 jn≠n,那么对j2…n作jn,n对换，它就变成n,这就归结成上面的情形，因此结 论普遍成立。 第三节n级行列式 现在给出级行列式的定义，从这一节开始，我们总是取一固定的数域P作为基础，所谈 到的数都是指这个数域P中的数，所考虑的行列式也都是数域P上的行列式，以后不再特别说 明了 在给出级行列式的定义之前，先看以下二级和三级行列式的定义。我们有 dnhadddda (1) a an as a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-413a22a31-a12a21a33-a11a23a32（2） 从二级和三级行列式的定义可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是 由行列式中位于不同行和不同列的元素构成的额，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积 组成。在n=2时，由不同行不同列的元素构成的额乘积只有a,az和a2a2,这两项，在n=3时 也不难看出只有(2)中的6项。这是二级和三级行列式的特征的一个方面。另一方面。每一 项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一 般形式可以写成 anaznain (3) 其中2j是1,2,3的一个排列，可以看出，当j2j3是偶排列时，对应的项在(2)中带有正号从（5）出发，再把 j 一位一位地向右移动，经过 s 次相邻位置的对换，排列（5）就变成排列 （4）。因之， j, k 对换可以通过 2s +1 次相邻位置的对换来实现。 2s +1 是奇数，相邻位置的对 换改变排列的奇偶性。显然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性。 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个 数与这个排列有相同的奇偶性。 证明 对排列的级数 n 作数学归纳法，来证任意一个 n 级排列都可以经过一系列对换变成 12n。 1 级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对 n −1 级排列已经成立，现在来证对 n 级排列的情形结论也成立。 设 n j j  j 1 2 是一个 n 级排列，如果 j n = n ，那么根据归纳法假设， n −1 级排列 1 2 n−1 j j  j 可以经过一系列对换变成 12n −1 ，于是这一系列对换也就把 n j j  j 1 2 变成了 12n 。如果 j n  n ，那么对 n j j  j 1 2 作 j n , n 对换，它就变成 j 1  j 2   j n  −1n ，这就归结成上面的情形，因此结 论普遍成立。 第三节 n 级 行 列 式 现在给出 n 级行列式的定义，从这一节开始，我们总是取一固定的数域 P 作为基础，所谈 到的数都是指这个数域 P 中的数，所考虑的行列式也都是数域 P 上的行列式，以后不再特别说 明了。 在给出 n 级行列式的定义之前，先看以下二级和三级行列式的定义。我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − （1） 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − （2） 从二级和三级行列式的定义可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是 由行列式中位于不同行和不同列的元素构成的额，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积 组成。在 n = 2 时，由不同行不同列的元素构成的额乘积只有 a11a22和a12a21 这两项，在 n = 3 时 也不难看出只有（2）中的 6 项。这是二级和三级行列式的特征的一个方面。另一方面。每一 项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式（2）中，项的一 般形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j （3） 其中 j 1 j 2 j 3是1，2，3 的一个排列，可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时，对应的项在（2）中带有正号