显然12”也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的：其 它的排列都或多或少地破坏自然顺序。 定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 例如2431中，21,43,41,31是逆序数，2431的逆序数就是4，而45321的逆序数是9。 排列2jn的逆序数记为x(j…jn)。 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，2431是偶排列：45321是奇排列：12n的逆序数为零，因之是偶排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为级排 列，同样可以定 义上面区些概念 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换 称为一个对换。例如，经过1,2对换，排列2431就变成了1432，排列2134就变成了1234。 显然，如果连续施行两次的对换，那么就还原了。由此得知，一个对换把全部级排列两两配 对，使每个配成对的n级排列在这个对换下互变。 关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。 定理1对换改变排列的奇偶性。 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形，排列 …k (1) 经过j,k对换变成 …kj… (2) 显然，在排列(1)中如，k与其他的数构成逆序，则在排列(2)中仍然构成逆序：如果不构 成逆序则在(2)中也不构成逆序：不同的知识，k的次序。如果原来，k组成逆序，那么经过 对换，逆序数就减少一个；如果原来，k不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个，不 论增加1还是减少排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形定理成立。 再看一般的情形，设排列为 …j2,k… (3) 经过，k对换，排列(3)变成 …k1131,1… (4) 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现。从(3)出发，把k与，对 换，再与对换，由此依次下去，把k一位一位地向左移动，经过s+1次相邻位置的对换，排 列(3)就变成 …ki62…。… (5) 显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的；其 它的排列都或多或少地破坏自然顺序。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 例如 2431 中，21，43，41，31 是逆序数，2431 的逆序数就是 4，而 45321 的逆序数是 9。 排列 n j j  j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n  j j  j 。 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，2431 是偶排列；45321 是奇排列； 12n 的逆序数为零，因之是偶排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为 n 级排 列，同样可以定义上面这些概念。 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换 称为一个对换。例如，经过 1，2 对换，排列 2431 就变成了 1432，排列 2134 就变成了 1234。 显然，如果连续施行两次的对换，那么就还原了。由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两配 对，使每个配成对的 n 级排列在这个对换下互变。 关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。 定理 1 对换改变排列的奇偶性。 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明 先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形，排列  jk （1） 经过 j, k 对换变成 kj （2） 显然，在排列（1）中如 j, k 与其他的数构成逆序，则在排列（2）中仍然构成逆序；如果不构 成逆序则在（2）中也不构成逆序；不同的知识 j, k 的次序。如果原来 j, k 组成逆序，那么经过 对换，逆序数就减少一个；如果原来 j, k 不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个，不 论增加 1 还是减少 1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形定理成立。 再看一般的情形，设排列为  ji1 i 2 i s k （3） 经过 j, k 对换，排列（3）变成 ki1 i 2 i s j （4） 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现。从（3）出发，把 s k与i 对 换，再与 s−1 i 对换,由此依次下去，把 k 一位一位地向左移动，经过 s +1 次相邻位置的对换，排 列（3）就变成 kji1 i 2 i s  （5）