y= arct x∈C(-∞,+∞) 3.指数函数a、对数函数logx和幂函数x连续性 引理设a>1,n>1为正整数,则彐!b>1,使a=b"。由此我们可以定义 a 证在区间[,a]上考虑函数∫(x)=x"∈C[,a],且f(1)=1<a<a"=f(a) Bolzano-Cauchy第二定理给出b∈[1,a],使a=b"。 如果b=a,即b=a,bn=b”,由函数f(x)=x”严格单调,推出b'=b,即 唯一性 定义若q="(m,n正整数,互素)为正有理数,a=(√a)m。若q为负有理数, a9=-,定义a0=1。若λ为无理数,定义a=supa",q为有理数。 这里需说明sup存在:当q为有理数时,a是单调上升的,即q1<q2时 a41>1,a2>a",所以sup存在。 最后无论x为有理数还是无理数,都有a2=spa”,q为有理数。 命题f(x)=a2严格上升,在(-+∞)上连续 证设x1<x2,彐有理数q1,q2,使得x1≤q1<q2≤x2,由此 a=supa≤a4<a4≤supa"=a2。 x0∈(-0,+∞),VE>0,彐N,使得a<(1+E),取q1,q2有理数,使得q1<x0<q2 则∫(x0)≤f(x+0)≤a,f(x0)≥f(x0-0)≥a, 1≤(x+0)a0 ≤=a4=aN<l+E,所以∫(x0+0)=f(x0-0)=f(x)=a”。 f(x0-0)a 指数函数还有性质aa2=a+ 命题对数函数y= log x∈C(0,+∞)。58 y = arctg x Î C(-¥, + ¥) 。 3． 指数函数 x a 、对数函数 x a log 和幂函数 a x 连续性 引理 设a > 1, n > 1为正整数，则 $ > ! 1 b ， 使 n a = b 。由此我们可以定义 n b = a 。 证 在区间 [1, a]上考虑函数 f (x) x C[1, a] n = Î , 且 f (1) 1 a a f (a) n = < < = 。 Bolzano-Cauchy 第二定理给出bÎ[1, a]，使 n a = b 。 如果 n b¢ = a ，即b a n ¢ = ， n n b¢ = b ，由函数 n f (x) = x 严格单调，推出b¢ = b ，即 唯一性。 定义 若 n m q = （ m, n 正整数，互素）为正有理数， q n m a = ( a ) 。 若q 为负有理数， q q a a - = 1 ，定义 1 0 a = 。 若l 为无理数，定义a a q为有理数 q q sup , l l < = 。 这里需说明 sup 存在：当 q 为有理数时， q a 是单调上升的，即 q1 < q2 时， 1 2 1 1 2 = > q -q q q a a a ， q2 q1 a > a ，所以sup 存在。 最后无论x 为有理数还是无理数，都有a a q 为有理数 q q x x sup , £ = 。 命题 x f (x) = a 严格上升，在(-¥,+¥) 上连续。 证 设 1 2 x < x ，$有理数 1 2 q , q ，使得 1 1 2 2 x £ q < q £ x , 由此 2 2 1 2 1 1 sup sup q x q x q q q q x x a = a £ a < a £ a = a £ £ 。 ( , ) " x0 Î -¥ +¥ , "e > 0 , $N , 使得 N a < (1+ e ) ，取 1 2 q , q 有理数，使得 1 0 q2 q < x < , N q q 1 2 - 1 = , 则 2 ( ) ( 0) 0 0 q f x £ f x + £ a , 1 ( ) ( 0) 0 0 q f x ³ f x - ³ a , £ = = < + e - + £ - 1 ( 0) ( 0) 1 1 0 0 2 1 1 2 q q N q q a a a a f x f x , 所以 0 ( 0) ( 0) ( ) 0 0 0 x f x + = f x - = f x = a 。 指数函数还有性质 x1 x 2 x1 x2 a a a + = 。 命题 对数函数 y = log x ÎC (0,+ ¥) a