定理的证明不妨设f(x)在区间/=(a,b)严格上升,若f(x)在xo∈I不连续 则f(x-0)≤f(x0)≤f(x0+0)中必有一严格不等号成立,比如f(x0-0)<f(x0),则 值域包含在(f(a+0),f(x0-0)]∪[f(x0)∫(b-0)中,就不是一个区间了 下面定理给出反函数的连续性 定理设y=f(x)∈C(a,b),严格上升,记ntff(x)=a,supf(x)=B, (a,B可能为-∞,+∞) 则(1)在(a,B)上存在反函数x=f(0y) (2)x=f(y)在(x,B)上严格上升; (3)f(y)∈C(a,B)。 y=f(x 实际上y=f(x)和x=f-(y)表示是同一条曲 线,单调性和连续性都是这条曲线的固有性质,这定理结果是再也自然不过的事实 证(1)因y=f(x)严格上升,反函数一定存在,需要证∫-()的定义域恰为(x,B)。 yo∈(a,β),由上、下确界定义,彐x',x"∈(a,b),使得∫(x)<y<∫(x")。在 [x',x"或[x",x上应用 bolzano-. Cauchy第二定理,彐xo∈(x,x)或(x",x),使得 f(x0)=y,由y0的任意性,得到a,B)为∫的值域,即(a,B)为x=f(y)的定义域。 (2)设y1y2∈(α,B),y1<y2,要证x1=f-(y)<f-(y2)=x2,若x1≥x 由反函数定义及f(x)的严格上升,得y1=f(x1)≥f(x2)=y2,矛盾,所以∫()严格 上升。 (3)f-(y)在(a,B)严格上升,值域为(a,b),由定理1知∫-(y)∈C(a,B 注若∫(x)∈C[a,b]严格上升,令∫(a)=a,f(b)=B,则结论中(a,B)改为 [a,β]仍成立,对严格下降函数也有同样结论。 由此可得y= arcsin x∈C[-1,1 y= arccos x∈C[-1,157 定理的证明 不妨设 f (x) 在区间 I = (a, b) 严格上升，若 f (x) 在 x Î I 0 不连续， 则 ( 0) ( ) ( 0) f x0 - £ f x0 £ f x0 + 中必有一严格不等号成立，比如 ( 0) ( ) 0 0 f x - < f x ，则 值域包含在( ( 0), ( 0)] [ ( ), ( 0)) f a + f x0 - È f x0 f b - 中，就不是一个区间了。 下面定理给出反函数的连续性。 定理 设 y = f (x) ÎC (a,b) ，严格上升，记 =a = b < < < < inf f (x) , sup f (x) a x b a x b , （a , b 可能为- ¥ ,+¥） 则 （1） 在(a ,b ) 上存在反函数 ( ) 1 x f y - = ； （2） ( ) 1 x f y - = 在(a ,b ) 上严格上升； （3） ( ) ( , ) 1 f y Î C a b - 。 实际上 y = f (x)和 ( ) 1 x f y - = 表示是同一条曲 线，单调性和连续性都是这条曲线的固有性质，这定理结果是再也自然不过的事实。 证 （1）因 y = f (x)严格上升，反函数一定存在，需要证 ( ) 1 f y - 的定义域恰为(a ,b ) 。 ( , ) " y0 Î a b ，由上、下确界定义，$ x¢, x¢¢Î(a, b) , 使得 ( ) ( ) 0 f x¢ < y < f x¢¢ 。在 [x¢, x¢¢] 或 [x¢¢, x¢] 上应用 Bolzano-Cauchy 第二定理， ( , ) 0 $ x Î x¢ x¢¢ 或 ( x¢¢, x¢) ，使得 0 0 f (x ) = y ，由 0 y 的任意性，得到(a ,b ) 为 f 的值域，即(a ,b ) 为 ( ) 1 x f y - = 的定义域。 （2） 设 ( , ) y1, y2 Î a b , 1 2 y < y , 要证 2 2 1 1 1 1 x = f (y ) < f (y ) = x - - ，若 1 2 x ³ x ， 由反函数定义及 f (x) 的严格上升，得 1 1 2 2 y = f (x ) ³ f (x ) = y , 矛盾，所以 ( ) 1 f y - 严格 上升。 （3） ( ) 1 f y - 在(a ,b ) 严格上升，值域为(a, b)，由定理 1 知 ( ) ( , ) 1 f y Î C a b - 。 注 若 f (x)Î C[a, b]严格上升，令 f (a) = a , f (b) = b , 则结论中(a ,b ) 改为 [a , b ]仍成立，对严格下降函数也有同样结论。 由此可得 y = arcsin x ÎC[-1, 1], y = arccos x ÎC[-1, 1], y b a O x a b y=f(x)