证x=a”在(-∞,+∞)上严格上升,连续,其值域为(0,+∞),所以其反函数 y= log x在(0,+∞)也严格上升,连续 命题幂函数y=x=ex∈C(0 +)。 证它是指数函数e和对数函数z=alnx的复合函数,每个函数都连续,它们的复合 也连续 结论一切初等函数都在其定义域上是连续的。 求极限的指数法则若lmu(x)=a>0,lmv(x)=b,则lmu(x))=a>0。 证如果u(x),(x)在x0点连续,且(x0)>0,则(x)()=e"x)在x点连续 补充定义u(x0)=a,v(x0)=b,则lmu(x)x)=a2。 上述极限过程当x0=+∞,-∞时仍成立,只要利用变换x=-就行了,例如: 皿+n)中我们注意到(+s3)=取 很容易得到它趋向于e 当x→+∞时 ∫连续兮∫与lm可交换 lim f(x)=f(xo)=f(lm x) imf(q(x)=f(mφ(x)=f((x0)。 习题 3.1研究下列函数的连续性,并指出间断点类型: (1) f(x)=sgn x: (2)g(x)=x-[x] (3)f∫[g(x;g[(x) (4)h(x)=| xx+1 3.2指出下列函数的间断点,并说明属于哪一类型的间断点 (1)y= (2)y=cos2- (1+x)59 证 y x = a 在 (-¥,+¥) 上严格上升 ，连续，其值域为 (0,+ ¥) ，所以其反函数 y x a = log 在(0,+ ¥) 也严格上升，连续。 命题 幂函数 (0, ) ln y = x = e Î C + ¥ a a x 。 证 它是指数函数 z e 和对数函数 z = a ln x 的复合函数，每个函数都连续，它们的复合 也连续。 结论 一切初等函数都在其定义域上是连续的。 求极限的指数法则 若 lim ( ) 0 0 = > ® u x a x x ， v x b x x = ® lim ( ) 0 ，则 lim ( ) 0 ( ) 0 = > ® v x b x x u x a 。 证 如果u(x), v( x) 在 0 x 点连续，且u(x0 ) > 0，则 ( ) ( )ln ( ) ( ) v x v x u x u x = e 在 0 x 点连续， 补充定义u(x0 ) = a ，v(x0 ) = b ，则 v x b x x u x = a ® ( ) lim ( ) 0 。 上述极限过程当 x0 = +¥, -¥ 时仍成立 ，只要利用变换 t x 1 = 就行了，例如： x x x ) 1 lim (1+ sin ®+¥ 中我们注意到 x x x x x x 1 1 sin 1 sin 1 ) 1 ) (1 sin 1 (1 sin × + = + ，很容易得到它趋向于e ， 当 x ® +¥ 时。 f 连续Û f 与 0 lim x®x 可交换： lim ( ) ( ) (lim ) 0 0 0 f x f x f x x®x x®x = = ； lim ( ( )) (lim ( )) ( ( )) 0 0 0 f x f x f x x x x x j = j = j ® ® 。 习题 3.1 研究下列函数的连续性，并指出间断点类型： （1） f (x) = sgn x ； （2） g( x) = x - [x]； （3） f [g (x)]； g[ f (x)] ； （4） ÷ ø ö ç è æ - - ÷ ø ö ç è æ + = - x x x x h x 1 1 1 1 1 1 ( ) . 3.2 指出下列函数的间断点，并说明属于哪一类型的间断点： （1） 2 (1 x) x y + = ； （2） x y 1 cos 2 = ；