第2期 庄吴，等：联合连通拓扑下的二阶多自主体系统有限时间包容控制 ·191. (2,2,…,2,a1+1,a1+1,…a1+1),并且11=2， 领航者d。个，跟随者d。个，满足d。=d。+d.。 矩阵块L。为拓扑图G相对应的Laplacian矩阵。 r2=a1+1,k=a1-1<0。 假设原动力学方程可写为 根据L。的定义，存在一个正交矩阵E。∈R,使： f(x:,:）= E。LnE。=diag(L。,L2,…,Lg）（l0) (9) (x,:)=u: x'(t)E。=[x(t)x(t)…x'(t)] 则有 (11) f(ex,e2v:)=e2U:=e+"f(x,:) v'(t)E。=[(t)v(t)…v'(t)] f(e,e,)=sgm(L∑a,(e多-sx)])a,+ (12) jeN 式中： gn([∑0g(ey,-e2,)]),= xi(t)= jeN esgn(i[∑a(g-x)])a1+ [xai(t)…xtn(t）xo+1(t）…x(t)] i=1,2,…,ng (13) esgn([∑a,(y,-4:)])a v(t)= jeN [(t)… 由已知得：ea=e?=e+r?,所以上式可写为 s(t）o+(t） …t(t)] i=1,2,…,no (14) f3(εx:,e2v:)=E+"f52(x:,:) 此多智能体系统与带有扩张（2,2，…，2， 在动态切换拓扑下网络化系统的Laplacian矩 阵为 a1+1,a1+1,a1+1)的度k=a1-1<0是同 L。= (15) 次的。因此，由引理1得到此系统可以达到有限时 0头m 间收敛。 令x()=[x(t)x()],(t)= [(t)(t)]T。x(t)表示跟随者的位置，x(t) 3联合连通下的控制算法分析 表示领航者的位置，'(t)表示跟随者的速度， 本节讨论多自主体系统在运动过程，出现通信 "(t)表示领航者的速度。其中： 拓扑不连通的情况。系统动力学模型和控制器不 x(t)=[x(t)x(t)…x(t)] 变，动力学模型为式(1)，控制器为式(2)。在联 xL(t)=[x(t)x2(t)...x(t) 合连通条件下分析此系统。 vr(t)=[v,(t)y2(t)… "(t)]r 考虑一组无穷有序的有界连续时间段[， v(t)=[v(t)v2(t).v..(t)]T t+1),r=1,2,…,且t1=0,t+1-1,≤T,T1>0。 在每个时间段[，w,41)内此多智能体系统可 假设每个时间段[(，‘+1)中存在一组非重叠的有限 以被分成n。个子系统，在每个时间段内的 子序列[4*1)，广=1,2，…，m,,且系统拓扑在 Laplacian矩阵为 [l,l41)内保持不变，其中1=4，，tm,+1=t+1, Lirue rw*1-tw≥T,T2>0。令o(t):[0,+o)→T, 。= (16) 0doxd0oxdo」 T={1,2,…,N}为一个分段切换常函数，N为总拓 扑数。系统在t时刻的信息拓扑图记为Go,相应 由系统动力学模型和控制器得，在时间段[， 的Laplacian矩阵记为Lw。其中，由n个跟随者 wt1)内： 构成的信息拓扑图记为Gr.o,相应的Laplacian矩 (t)=sgn(p[-LFex(t）-Loxi(t)])▣+ 阵记为Lpa(0o sgn(2[-Lre vro(t)-Lr vin(t)] 假设2由n个跟随者和m个领航者构成的网 (17) 络化系统拓扑在非重叠时间区间[t,t,+1),T=1, 令跟踪方程： 2,…内为联合连通的。 ((t)=x(t)+(Lr)Lxi(t) 假设3非重叠时间区间[tw,t+1)C[t, t+1),j=1,2,…,m,内，网络化系统存在一连通子 vre(t)=vre(t)+(LFe)LgLovin(t) 集。连通子集中任意一个跟随者i,至少与一个领 (18) 航者j之间存在一条路径。 根据跟踪方程得出： 假设系统通信拓扑图G。在时间段[t,t,+1)内 vio(t)=sgn([-Lee xro(t)])" 有。≥1个连通部分，且连通成分的子拓扑图记为 sgn(2[-Lre vre(t)])2 (19) G。,i=1,2,…,n。。图G内有d≥1个节点，其中 根据假设3、引理2、定理1得出，此二阶多智能（２þ ，２ï ，ý…ï ，ü２ ｎ ，α１ ＋ １，α１ ＋ １，…α１ ＋ １ þ ï ï ï ï ý ï ï ï ï ü ｎ ） ，并且 ｒ１ ＝ ２， ｒ２ ＝ α１ ＋ １， ｋ ＝ α１ － １ ＜ ０。 假设原动力学方程可写为 ｆ １（ｘｉ，ｖｉ） ＝ ｖｉ ｆ ２（ｘｉ，ｖｉ） ＝ ｕｉ { （ ９ ） 则有 ｆ １（ε ｒ１ ｘｉ，ε ｒ２ ｖｉ） ＝ ε ｒ２ ｖｉ ＝ ε ｋ＋ｒ１ ｆ １（ｘｉ，ｖｉ） ｆ ２（ε ｒ１ ｘｉ，ε ｒ２ ｖｉ） ＝ ｓｇｎ（ φ １ ［∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ε ｒ１ ｘｊ － ε ｒ１ ｘｉ）］） α１ ＋ ｓｇｎ（ φ ２ ［∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ε ｒ２ ｖｊ － ε ｒ２ ｖｉ）］） α２ ＝ ε ｒ１α１ ｓｇｎ（ φ １ ［∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘｊ － ｘｉ）］） α１ ＋ ε ｒ２α２ ｓｇｎ（ φ ２ ［∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｖｊ － ｖｉ）］） α２ 由已知得： ε ｒ１α１ ＝ ε ｒ２α２ ＝ ε ｋ＋ｒ２ ，所以上式可写为 ｆ ２（ε ｒ１ ｘｉ，ε ｒ２ ｖｉ） ＝ ε ｋ＋ｒ２ ｆ ２（ｘｉ，ｖｉ） 此 多 智 能 体 系 统 与 带 有 扩 张 （ ２þ ，２ï ，ý…ï ，ü２ ｎ ， α１ ＋ １，α１ ＋ １，…α１ ＋ １ þ ï ï ï ï ý ï ï ï ï ü ｎ ） 的度 ｋ ＝ α１ － １ ＜ ０ 是同 次的。 因此，由引理 １ 得到此系统可以达到有限时 间收敛。 ３ 联合连通下的控制算法分析 本节讨论多自主体系统在运动过程，出现通信 拓扑不连通的情况。 系统动力学模型和控制器不 变，动力学模型为式 （１） ，控制器为式 （２） 。 在联 合连通条件下分析此系统。 考虑一组无穷有序的有界连续时间段 ［ｔ ｒ， ｔ ｒ＋１ ） ， ｒ ＝ １，２，… ，且 ｔ １ ＝ ０， ｔ ｒ＋１ － ｔ ｒ ≤ Ｔ１ ， Ｔ１ ＞ ０。 假设每个时间段 ［ｔ ｒ，ｔ ｒ＋１ ） 中存在一组非重叠的有限 子序列 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） ， ｊ ＝ １，２，…，ｍｒ ，且系统拓扑在 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） 内保持不变，其中 ｔ ｒ，１ ＝ ｔ ｒ ， ｔ ｒ，ｍｒ ＋１ ＝ ｔ ｒ＋１ ， ｔ ｒ，ｊ＋１ － ｔ ｒ，ｊ ≥ Ｔ２ ， Ｔ２ ＞ ０。 令 σ（ｔ）：［０， ＋ ¥） → Γ ， Γ ＝ ｛１，２，…，Ｎ｝ 为一个分段切换常函数， Ｎ 为总拓 扑数。 系统在 ｔ 时刻的信息拓扑图记为 Ｇσ（ｔ） ，相应 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵记为 Ｌσ（ｔ） 。 其中，由 ｎ 个跟随者 构成的信息拓扑图记为 ＧＦσ（ｔ） ，相应的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩 阵记为 ＬＦσ（ｔ） 。 假设 ２ 由 ｎ 个跟随者和 ｍ 个领航者构成的网 络化系统拓扑在非重叠时间区间 ［ｔ ｒ，ｔ ｒ＋１ ） ， ｒ ＝ １， ２，… 内为联合连通的。 假设 ３ 非重叠时间区间 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） ⊂ ［ｔ ｒ， ｔ ｒ＋１ ） ， ｊ ＝ １，２，…，ｍｒ 内，网络化系统存在一连通子 集。 连通子集中任意一个跟随者 ｉ ，至少与一个领 航者 ｊ 之间存在一条路径。 假设系统通信拓扑图 Ｇσ 在时间段 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） 内 有 ｎσ ≥ １ 个连通部分，且连通成分的子拓扑图记为 Ｇ ｉ σ ， ｉ ＝ １，２，…，ｎσ 。 图 Ｇ ｉ σ 内有 ｄ ｉ σ ≥１ 个节点，其中 领航者 ｄ ｉ Ｌσ 个，跟随者 ｄ ｉ Ｆσ 个，满足 ｄ ｉ σ ＝ ｄ ｉ Ｌσ ＋ ｄ ｉ Ｆσ 。 矩阵块 Ｌ ｉ σ 为拓扑图 Ｇ ｉ σ 相对应的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵。 根据Ｌσ 的定义，存在一个正交矩阵Ｅσ ∈Ｒ ｎ×ｎ ，使： Ｅ Ｔ σ Ｌσ Ｅσ ＝ ｄｉａｇ（Ｌ １ σ ，Ｌ ２ σ ，…，Ｌ ｎσ σ ） （ １０ ） ｘ Ｔ （ｔ） Ｅσ ＝ ［ｘ １Ｔ σ （ｔ） ｘ ２Ｔ σ （ｔ） … ｘ ｎσＴ σ （ｔ）］ （ １１ ） ｖ Ｔ （ｔ） Ｅσ ＝ ［ｖ １Ｔ σ （ｔ） ｖ ２Ｔ σ （ｔ） … ｖ ｎσＴ σ （ｔ）］ （ １２ ） 式中： ｘ ｉＴ σ （ｔ） ＝ ［ｘ ｉ σ１（ｔ） … ｘ ｉ σｄ ｉ Ｆσ （ｔ） ｘ ｉ σｄ ｉ Ｆσ ＋１（ｔ） … ｘ ｉ σｄ ｉ σ （ｔ）］ ｉ ＝ １，２，…，ｎσ （ １３ ） ｖ ｉＴ σ （ｔ） ＝ ［ｖ ｉ σ１（ｔ） … ｖ ｉ σｄ ｉ Ｆσ （ｔ） ｖ ｉ σｄ ｉ Ｆσ ＋１（ｔ） … ｖ ｉ σｄ ｉ σ （ｔ）］ ｉ ＝ １，２，…，ｎσ （ １４ ） 在动态切换拓扑下网络化系统的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩 阵为 Ｌσ ＝ ＬＦσ ＬＦＬσ ０ｍ×ｎ ０ｍ×ｍ é ë ê ê ù û ú ú （ １５ ） 令 ｘ（ｔ） ＝ ［ｘ Ｔ Ｆ（ｔ） ｘ Ｔ Ｌ（ｔ）］ Ｔ ， ｖ（ｔ） ＝ ［ｖ Ｔ Ｆ（ｔ） ｖ Ｔ Ｌ（ｔ）］ Ｔ 。 ｘＦ（ｔ） 表示跟随者的位置， ｘＬ（ｔ） 表示领航者的位 置， ｖＦ（ｔ） 表 示 跟 随 者 的 速 度， ｖＬ（ｔ） 表示领航者的速度。 其中： ｘＦ（ｔ） ＝ ［ｘ１（ｔ） ｘ２（ｔ） … ｘｎ（ｔ）］ Ｔ ｘＬ（ｔ） ＝ ［ｘｎ＋１（ｔ） ｘｎ＋２（ｔ） … ｘｎ＋ｍ（ｔ）］ Ｔ ｖＦ（ｔ） ＝ ［ｖ１（ｔ） ｖ２（ｔ） … ｖｎ（ｔ）］ Ｔ ｖＬ（ｔ） ＝ ［ｖｎ＋１（ｔ） ｖｎ＋２（ｔ） … ｖｎ＋ｍ（ｔ）］ Ｔ 在每个时间段 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） 内此多智能体系统可 以被 分 成 ｎσ 个 子 系 统， 在 每 个 时 间 段 内 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵为 Ｌ ｉ σ ＝ Ｌ ｉ Ｆσ ０ｄ ｉ Ｌσ ×ｄ ｉ Ｆσ é ë ê ê Ｌ ｉ ＦＬσ ０ｄ ｉ Ｌσ ×ｄ ｉ Ｌσ ù û ú ú （ １６ ） 由系统动力学模型和控制器得，在时间段 ［ｔ ｒ，ｊ， ｔ ｒ，ｊ＋１ ） 内： ｖ ·ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ｓｇｎ（φ１ ［ － Ｌ ｉ Ｆσ ｘ ｉ Ｆσ（ｔ） － Ｌ ｉ ＦＬσ ｘ ｉ Ｌσ（ｔ）］） α１ ＋ ｓｇｎ（φ２ ［ － Ｌ ｉ Ｆσ ｖ ｉ Ｆσ（ｔ） － Ｌ ｉ ＦＬσ ｖ ｉ Ｌσ（ｔ）］） α２ （ １７ ） 令跟踪方程： ｘ － ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ｘ ｉ Ｆσ（ｔ） ＋ （Ｌ ｉ Ｆσ ） －１ Ｌ ｉ ＦＬσ ｘ ｉ Ｌσ（ｔ） ｖ － ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ｖ ｉ Ｆσ（ｔ） ＋ （Ｌ ｉ Ｆσ ） －１ Ｌ ｉ ＦＬσ ｖ ｉ Ｌσ（ｔ） { （ １８ ） 根据跟踪方程得出： ｖ ·ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ｓｇｎ（φ１ ［ － Ｌ ｉ Ｆσ ｘ － ｉ Ｆσ（ｔ）］） α１ ＋ ｓｇｎ（φ２ ［ － Ｌ ｉ Ｆσ ｖ － ｉ Ｆσ（ｔ）］） α２ （ １９ ） 根据假设 ３、引理 ２、定理 １ 得出，此二阶多智能 第 ２ 期 庄昊，等： 联合连通拓扑下的二阶多自主体系统有限时间包容控制 ·１９１·