.192 智能系统学报 第12卷 体系统在联合连通条件下可以实现包容控制。 0 下面证明多智能体系统在联合连通条件下可以 实现有限时间收敛。令： 0 yi=-Lixe(t),wi=-Lrovre(t)20) 所以 vr(t)=sgn[(yi)a+sgn[(w)a2 且y=w (21) 构造李雅普诺夫函数V(t)=(t)+(t),其中： n0)=20L(0 图1跟随者与领航者静态拓扑图 r()=立()()= o Fig.1 The static topological graph of followers and leaders 令拓扑图每个边的权重均相等，假设为1。选 个a0-ao 取a1=0.8,a2=2a1/(a1+1),P(x)=3x, 式中：V(t)= sgm[p(s)]ds。 P,(x)=3x。目标区域的3个顶点位置为：专6= 上述李雅普诺夫函数沿着方程(19)的导数： [810],,=[108],专8=[1010]'，各跟随 (t)=(t)+(t)= 者的初始位置为：专，(0)=[20]T,专，(0)= -（|wIp2(wi)|2+…+w6|p2(wd)）≤0 [40]r,5(0)=[02]T,(0)=[04]r, 注意到V(t)=0当且仅当w=0,由x:P,(x:)> 专(0)=[31]”。各跟随者的初速度为：，(0)= 0(Hx,≠0)和式(21)，得到y=0,由引理2和式 [26],2(0)=[38]',(0)=[46], (20)得m(t)=0、x(t)=0,所以有且只有在平衡 ,(0)=[55]r,,(0)=[63]T。 基于图1的拓扑图以及上述初始条件，分别应 点时才有V(t)=0,根据李雅普诺夫第二定理，得到 联合连通条件下此多智能体系统在[1，，4，+)时间 用本文设计的控制器u,(t)=sgn(,(∑a,[x(t)- ie v 段内在平衡点是渐近稳定的。进一步根据式(18) 得到n(t)→(Lm)Lm(t)、xn(t)→ x()])+sg(92(∑a[()-()]),称 (L,）-1Lx(t),再由定理1得出此多智能体系 为控制器（1)；和一种传统控制策略u(t)= 统在联合连通条件下能够实现包容控制。 sgn(∑a,[x,()-x,()])+sgm(∑a,[y,()- 由于在每个时间段[1，，，+1)内此多智能体系 jeN 统被分为n。个子系统，由定义3和引理1分析知此 ,(t)]),称为控制器2：进行仿真实验。 多智能体系统与带有扩张（2,2，…，2 应用控制器1与控制器2的各个智能体的位 置、速度与时间的关系如图2~5。 1+1,a1+1,…,&1+1)的度k=a1-1<0是同 d 跟随者1跟随者2跟随者3 次的。因此，由引理1得到此多智能体系统可以达 到有限时间收敛。 4仿真验证 跟随者4跟随者5 4.1静态拓扑仿真 设系统中有5个跟随者，跟随者集合为F={1, 2,3,4,5},要将这5个跟随者控制到三角形区域内， 假设系统信息拓扑图如图1所示，取如下系统矩阵： 2-10001 101520 -12-100 s Le= 0 -13-10 图2控制器1跟随者位置横坐标与时间关系 0 0 -12 -1 Fig.2 The relationship between the abscissa of followers 00 0-12 position under the action of controllerl and time体系统在联合连通条件下可以实现包容控制。 下面证明多智能体系统在联合连通条件下可以 实现有限时间收敛。 令： ｙ ｉ ＝ － Ｌ ｉ Ｆσ ｘ － ｉ Ｆσ（ｔ），ｗ ｉ ＝ － Ｌ ｉ Ｆσ ｖ － ｉ Ｆσ（ｔ） （ ２０ ） 所以 ｖ · ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ｓｇｎ［ φ １ （ｙ ｉ ）］ α１ ＋ ｓｇｎ［ φ ２ （ｗ ｉ ）］ α２ 且 ｙ · ｉ ＝ ｗ ｉ （ ２１ ） 构造李雅普诺夫函数 Ｖ ｉ （ｔ） ＝ Ｖ ｉ １（ｔ） ＋ Ｖ ｉ ２（ｔ） ，其中： Ｖ ｉ １（ｔ） ＝ １ ２ ｖ － ｉＴ Ｆσ（ｔ） Ｌ ｉ Ｆσ ｖ － ｉ Ｆσ（ｔ） Ｖ ｉ ２（ｔ） ＝ ∑ ｎ ｚ ＝ １ Ｖ ｉ ２ｚ（ｔ）Ｖ ｉ ２（ｔ） ＝ ∑ ｎ ｚ ＝ １ Ｖ ｉ ２ｚ（ｔ） 式中： Ｖ ｉ ２ｚ（ｔ） ＝ ∫ （∑ ｄ ｉ σ ｊ ＝ １ ａｚｊ ［ｘσｊ （ｔ） －ｘσｚ （ｔ）］） Ｔ ０ ｓｇｎ ［φ１（ｓ ｉ ）］ α１ ｄｓ ｉ 。 上述李雅普诺夫函数沿着方程（１９）的导数： Ｖ · ｉ （ｔ） ＝ Ｖ · ｉ １（ｔ） ＋ Ｖ · ｉ ２（ｔ） ＝ － （ ｗ ｉ １ φ２（ｗ ｉ １ ） φ２ ＋ … ＋ ｗ ｉ ｄ ｉ σ φ２（ｗ ｉ ｄ ｉ σ ） φ２ ） ≤ ０ 注意到 Ｖ · ｉ （ｔ） ＝ ０ 当且仅当 ｗ ｉ ＝ ０，由 ｘｉφｌ（ｘｉ） ＞ ０（∀ｘｉ ≠ ０） 和式（２１），得到 ｙ ｉ ＝ ０，由引理 ２ 和式 （２０）得 ｖ － ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ０、 ｘ － ｉ Ｆσ（ｔ） ＝ ０，所以有且只有在平衡 点时才有 Ｖ · ｉ （ｔ） ＝ ０，根据李雅普诺夫第二定理，得到 联合连通条件下此多智能体系统在 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） 时间 段内在平衡点是渐近稳定的。 进一步根据式（１８） 得 到 ｖ ｉ Ｆσ（ｔ） → （Ｌ ｉ Ｆσ ） －１ Ｌ ｉ ＦＬσ ｖ ｉ Ｌσ（ｔ） 、 ｘ ｉ Ｆσ（ｔ） → （Ｌ ｉ Ｆσ ） －１ Ｌ ｉ ＦＬσ ｘ ｉ Ｌσ（ｔ） ，再由定理 １ 得出此多智能体系 统在联合连通条件下能够实现包容控制。 由于在每个时间段 ［ｔ ｒ，ｊ，ｔ ｒ，ｊ＋１ ） 内此多智能体系 统被分为 ｎσ 个子系统，由定义 ３ 和引理 １ 分析知此 多 智 能 体 系 统 与 带 有 扩 张 （ ２þ ，２ï ，ý…ï ，ü２ ｄ ｉ σ ， α１ ＋ １，α１ ＋ １，…，α１ ＋ １ þ ï ï ï ï ý ï ï ï ï ï ü ｄ ｉ σ ） 的度 ｋ ＝ α１ － １ ＜ ０ 是同 次的。 因此，由引理 １ 得到此多智能体系统可以达 到有限时间收敛。 ４ 仿真验证 ４．１ 静态拓扑仿真 设系统中有 ５ 个跟随者，跟随者集合为 Ｆ ＝ ｛１， ２，３，４，５｝ ，要将这 ５ 个跟随者控制到三角形区域内， 假设系统信息拓扑图如图 １ 所示，取如下系统矩阵： ＬＦ ＝ ２ － １ ０ ０ ０ － １ ２ － １ ０ ０ ０ － １ ３ － １ ０ ０ ０ － １ ２ － １ ０ ０ ０ － １ ２ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ＬＦＬ ＝ － １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ － １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ － １ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 图 １ 跟随者与领航者静态拓扑图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｇｒａｐｈ ｏｆ ｆｏｌｌｏｗｅｒｓ ａｎｄ ｌｅａｄｅｒｓ 令拓扑图每个边的权重均相等，假设为 １。 选 取 α１ ＝ ０．８， α２ ＝ ２α１ ／ （α１ ＋ １） ， φ１（ｘ） ＝ ３ｘ ， φ２（ｘ） ＝３ｘ 。 目标 区 域 的 ３ 个 顶 点 位 置 为： ξ６ ＝ ［８ １０］ Ｔ ， ξ７ ＝ ［１０ ８］ Ｔ ， ξ８ ＝ ［１０ １０］ Ｔ ，各跟随 者的 初 始 位 置 为： ξ１（０） ＝ ［２ ０］ Ｔ ， ξ２（０） ＝ ［４ ０］ Ｔ ， ξ３（０） ＝ ［０ ２］ Ｔ ， ξ４（０） ＝ ［０ ４］ Ｔ ， ξ５（０） ＝ ［３ １］ Ｔ 。 各跟随者的初速度为： ｖ１（０） ＝ ［２ ６］ Ｔ ， ｖ２（０） ＝ ［３ ８］ Ｔ ， ｖ３（０） ＝ ［４ ６］ Ｔ ， ｖ４（０） ＝ ［５ ５］ Ｔ ， ｖ５（０） ＝ ［６ ３］ Ｔ 。 基于图 １ 的拓扑图以及上述初始条件，分别应 用本文设计的控制器 ｕｉ（ｔ） ＝ ｓｇｎ（φ１（∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘｉ（ｔ）］）） α１ ＋ ｓｇｎ（φ２（∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖｉ（ｔ）］）） α２ ，称 为控 制 器 （ １ ）； 和 一 种 传 统 控 制 策 略 ｕｉ（ｔ） ＝ ｓｇｎ（∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘｉ（ｔ）］） ＋ ｓｇｎ（∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖｉ（ｔ）］） ，称为控制器 ２；进行仿真实验。 应用控制器 １ 与控制器 ２ 的各个智能体的位 置、速度与时间的关系如图 ２～５。 图 ２ 控制器 １ 跟随者位置横坐标与时间关系 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ａｂｓｃｉｓｓａ ｏｆ ｆｏｌｌｏｗｅｒｓ’ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ１ ａｎｄ ｔｉｍｅ ·１９２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷