·190· 智能系统学报 第12卷 引理2[]若假设1成立且跟随者之间构成无 (∑ay[)-,()])] 向连通图，则Lp为正定阵，-LL为非负矩阵且 jeNt 每行元素和为1。 afw）-0] ( 令领航者的位置集合为x(t)= [xa+(t)…xntm(t)]T,领航者的速度集合为 T={1,2,…,N},由定义1和引理2，t位于领航者 A,0-] 围成的凸包内。下面给出包容控制的定义。 定理1令跟随者的位置集合为x(t)= ,(∑a[x()-x(t)]) [x(t)…x(t)],跟随者的速度集合为 r(t)=[,(t)…v(t)]T,控制器满足李雅普诺 sgn (Aa,0-1) 夫第二定理，并且若在控制器的作用下有x(t)一→ -LLx(t),(t)→0，表示跟随者位于领航者 围成的凸包内，则控制器可以实现包容控制。 p(∑a[x(t)-x.(t)]) 证明由系统动力学模型和控制器得： ve(t)=sgn([-Lx(t)-LELXL(t)]a+ 「a0-]》' sgn(2[-Lgv(t)-LFLVL(t)]a2 (4) （Aa0-o] 令跟踪方程： (x(t)=x(1)+LF LELX(t) (5) v(t)=v(t)+LF'LELVL(t) g,④-] 根据跟踪方程得： 「p(∑alx()-x(t)]) ve(t)=sgn(i[-Lxe(t)])a+ sgn(2[-Lv(t)]a2 (6) p(∑a[x()-x,()]） sgn jeNz 令 y=-Lx(t) (∑a[x()-x.()]) w=-Lpvp(t) (7) 所以方程(6)可表示为 wsgn [(y)]m 'r(t)=sgm[f(y）]a1+sgn[5(w)]a2,且y=0 得到： (8) V(t)=V(t)+V2(t)= 构造李雅普诺夫函数V(t)=V,(t)+V(t), -w'sgn [o2(w)]42= 式中： (w)sign[(w)] 0=200 -[w1 02…0n] |p2(w2）|2sign[p2(02)] V(t)= ( 2()sign[z(w) 式中：(0)=40-0 sg[p,(s)]ds。考 -（01lp2(01)2+…+|wn川p2(wn)2）≤0 注意到V(t)=0,当且仅当0=0，由 虑李雅普诺夫函数n。,沿着式(6)的导数： xP(x:)>0(Hx:≠0)和式(8)，得到y=0,由 V (t)=v(t)Lgv(t)= 引理2和式(7)得"(t)=0、x(t)=0,所以有 -w'sgn [(y)]"-w"sgn [:(w)] 且只有在平衡点时才有V(t)=0,根据李雅普诺 V()=(∑a,[()-()])× 夫第二定理，此多智能体系统在平衡点是渐近稳 jcN 定的。进一步根据式(5)得到v(t)→-L sgn(a[x(t)-x(]))"V(t)= L(t)、xr(t)→-LFLx(t),再由定理1 含600=豆6w 得出此多智能体系统能够实现包容控制。 由定义3和引理1推出，设扩张系数引理 ２ ［９］ 若假设 １ 成立且跟随者之间构成无 向连通图，则 ＬＦ 为正定阵， － Ｌ －１ Ｆ ＬＦＬ 为非负矩阵且 每行元素和为 １。 令 领 航 者 的 位 置 集 合 为 ｘＬ（ｔ） ＝ ［ｘｎ＋１（ｔ） … ｘｎ＋ｍ（ｔ）］ Ｔ ，领 航 者 的 速 度 集 合 为 Γ ＝｛１，２，…，Ｎ｝ ，由定义 １ 和引理 ２， ｔ 位于领航者 围成的凸包内。 下面给出包容控制的定义。 定理 １ 令 跟 随 者 的 位 置 集 合 为 ｘＦ（ｔ） ＝ ［ｘ１（ｔ） … ｘｎ（ｔ）］ Ｔ ， 跟 随 者 的 速 度 集 合 为 ｖＦ（ｔ） ＝ ［ｖ１（ｔ） … ｖｎ（ｔ）］ Ｔ ，控制器满足李雅普诺 夫第二定理，并且若在控制器的作用下有 ｘＦ（ｔ） → － Ｌ －１ Ｆ ＬＦＬ ｘＬ（ｔ） ， ｖＦ（ｔ） → ０，表示跟随者位于领航者 围成的凸包内，则控制器可以实现包容控制。 证明 由系统动力学模型和控制器得： ｖ · Ｆ（ｔ） ＝ ｓｇｎ（ φ １ ［ － ＬＦ ｘＦ（ｔ） － ＬＦＬ ｘＬ（ｔ）］） α１ ＋ ｓｇｎ（ φ ２ ［ － ＬＦ ｖＦ（ｔ） － ＬＦＬ ｖＬ（ｔ）］） α２ （ ４ ） 令跟踪方程： ｘ － Ｆ（ｔ） ＝ ｘＦ（ｔ） ＋ Ｌ －１ Ｆ ＬＦＬ ｘＬ（ｔ） ｖ － Ｆ（ｔ） ＝ ｖＦ（ｔ） ＋ Ｌ －１ Ｆ ＬＦＬ ｖＬ（ｔ） { （ ５ ） 根据跟踪方程得： ｖ · Ｆ（ｔ） ＝ ｓｇｎ（ φ １ ［ － ＬＦ ｘ － Ｆ（ｔ）］） α１ ＋ ｓｇｎ（ φ ２ ［ － ＬＦ ｖ － Ｆ（ｔ）］） α２ （ ６ ） 令 ｙ ＝ － ＬＦ ｘ － Ｆ（ｔ） ｗ ＝ － ＬＦ ｖ － Ｆ（ｔ） （ ７ ） 所以方程（６）可表示为 ｖ · Ｆ（ｔ） ＝ ｓｇｎ［ φ １ （ｙ）］ α１ ＋ ｓｇｎ［ φ ２ （ｗ）］ α２ ，且 ｙ · ＝ ｗ （ ８ ） 构造李雅普诺夫函数 Ｖ（ｔ） ＝ Ｖ１（ｔ） ＋ Ｖ２（ｔ） ， 式中： Ｖ１（ｔ） ＝ １ ２ ｖ － Ｔ Ｆ（ｔ） ＬＦ ｖ － Ｆ（ｔ） Ｖ２（ｔ） ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ Ｖ２ｉ（ｔ） 式中： Ｖ２ｉ（ｔ） ＝ ∫ （ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ ［ｘｊ （ｔ） －ｘｉ （ｔ）］） Ｔ ０ ｓｇｎ ［φ１（ｓ）］ α１ ｄｓ 。 考 虑李雅普诺夫函数 ｎσ ，沿着式（６）的导数： Ｖ · １（ｔ） ＝ ｖ － Ｔ Ｆ（ｔ） ＬＦ ｖ － · Ｆ（ｔ） ＝ － ｗ Ｔ ｓｇｎ ［φ１（ｙ）］ α１ － ｗ Ｔ ｓｇｎ ［φ２（ｗ）］ α２ Ｖ · ２ｉ（ｔ） ＝ （∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖｉ（ｔ）］） Ｔ × ｓｇｎ（φ１（∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘｉ（ｔ）］）） α１Ｖ · ２（ｔ） ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ Ｖ · ２ｉ（ｔ）Ｖ · ２（ｔ） ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ Ｖ · ２ｉ（ｔ） ＝ （∑ ｊ∈Ｎ１ ａ１ｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖ１（ｔ）］） Ｔ （∑ ｊ∈Ｎ２ ａ２ｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖ２（ｔ）］） Ｔ ︙ （∑ ｊ∈Ｎｎ ａｎｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖｎ（ｔ）］） Ｔ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú α１ × ｓｇｎ φ１（∑ ｊ∈Ｎ１ ａ１ｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘ１（ｔ）］） φ１（∑ ｊ∈Ｎ２ ａ２ｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘ２（ｔ）］） ︙ φ１（∑ ｊ∈Ｎｎ ａｎｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘｎ（ｔ）］） é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú α１ ＝ （∑ ｊ∈Ｎ１ ａ１ｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖ１（ｔ）］） Ｔ （∑ ｊ∈Ｎ２ ａ２ｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖ２（ｔ）］） Ｔ ︙ （∑ ｊ∈Ｎｎ ａｎｊ［ｖｊ（ｔ） － ｖｎ（ｔ）］） Ｔ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú α１ × ｓｇｎ φ１（∑ ｊ∈Ｎ１ ａ１ｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘ１（ｔ）］） φ１（∑ ｊ∈Ｎ２ ａ２ｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘ２（ｔ）］） ︙ φ１（∑ ｊ∈Ｎｎ ａｎｊ［ｘｊ（ｔ） － ｘｎ（ｔ）］） é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú α１ ＝ ｗ Ｔ ｓｇｎ ［φ１（ｙ）］ α１ 得到： Ｖ · （ｔ） ＝ Ｖ · １（ｔ） ＋ Ｖ · ２（ｔ） ＝ － ｗ Ｔ ｓｇｎ ［φ２（ｗ）］ α２ ＝ － ［ｗ１ ｗ２ … ｗｎ ］ φ２（ｗ１ ） α２ ｓｉｇｎ［φ２（ｗ１ ）］ φ２（ｗ２ ） α２ ｓｉｇｎ［φ２（ｗ２ ）］ ︙ φ２（ｗｎ ） α２ ｓｉｇｎ［φ２（ｗｎ ）］ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú ＝ － （ ｗ１ φ２（ｗ１ ） φ２ ＋ … ＋ ｗｎ φ２（ｗｎ ） φ２ ） ≤ ０ 注 意 到 Ｖ · （ ｔ） ＝ ０， 当 且 仅 当 ｗ ＝ ０， 由 ｘｉφｌ（ ｘｉ） ＞ ０（∀ｘｉ ≠ ０） 和式（ ８） ，得到 ｙ ＝ ０，由 引理 ２ 和式（ ７）得 ｖ － Ｆ（ ｔ） ＝ ０、 ｘ － Ｆ（ ｔ） ＝ ０，所以有 且只有在平衡点时才有 Ｖ · （ ｔ） ＝ ０，根据李雅普诺 夫第二定理，此多智能体系统在平衡点是渐近稳 定的。 进 一 步 根 据 式 （ ５ ） 得 到 ｖＦ（ ｔ） → － Ｌ － １ Ｆ ＬＦＬ ｖＬ（ ｔ） 、 ｘＦ（ ｔ） → － Ｌ － １ Ｆ ＬＦＬ ｘＬ（ ｔ） ， 再由定理 １ 得出此多智能体系统能够实现包容控制。 由定 义 ３ 和 引 理 １ 推 出， 设 扩 张 系 数 ·１９０· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷