第2期 庄吴，等：联合连通拓扑下的二阶多自主体系统有限时间包容控制 ·189. [6]对动态领航者的二阶系统进行研究，分别提出了 f(x),x(0)=x。∈R”。其中连续向量流f(x)= 连续渐近包容控制算法和离散渐近包容控制算法。 [f(x)(x)…f(x)]T与带有扩张r=(m, 文献[7]研究了随机切换拓扑下二阶系统的包容控制 2,…,「n),:>0的度k∈R是齐次的，如果对于任 问题，提出一种基于不可约马尔可夫链信息拓扑的包 意的E>0,x∈R”都有f(E”x1,E2x2,…,Exn)= 容控制算法。文献[8]研究了二阶系统的分布式包容 e+"f(x),i=1,2,…,n。 控制问题，并给出了系统收敛的充分必要条件。从以 上文献研究可知，虽然均能实现系统的包容控制要 引理1)设系统x=f(x),x(0)=x。∈ 求，但是实现时间是不确定的。 R”与带有扩张(r1,r2,…,Tn)的度k∈R是齐次 在工业应用中，仅实现各个智能体特定状态的 的，函数f(x)是连续的，且x=0是它的一个渐 渐近一致还不足以满足工业生产需要，还需要系统 近稳定平衡点，如果齐次度k<0,则该系统就是 在有限时间内达到收敛。在航天器编队控制和机器 有限时间收敛的。 人编队对抗中，有限时间定理得到广泛应用，由于连 2二阶多自主体系统的包容控制 续有限时间控制的优点明显，有限时间控制问题受 到越来越多的关注。文献[10]对有限时间控制问 假设二阶多自主体系统由n个跟随者和m个 题进行了综述，介绍了有限时间稳定性的常用判据 领航者组成，其动力学模型描述为 和几类典型系统的有限时间控制。文献[9]研究了 x(t)=,(t), 有限时间收敛和参数不确定性有向系统的姿态包容 控制问题。文献[11-14]指出，连续有限时间控制 u,(t)=u,(t), 系统的验证方法主要包括：齐次性方法和有限时间 i=1,2,…,n,n+1,…,n+m（1) 李雅普诺夫稳定性定理。 式中：x:(t)∈R表示第i个智能体在t时刻的位置， 本文研究了静态拓扑和动态拓扑下的二阶多智 v,(t)∈R表示速度，u,(t)∈R表示控制输入。跟 能体系统能在有限时间内实现包容控制的问题，本文 随者集合与领航者集合分别记为F={1,2,…,n} 的创新点在于提出了动态联合连通条件下具有多领 和L={n+1,n+2,…,n+m},本文考虑静态领航 航者的有限时间的包容控制算法，应用现代控制理论 者的情况，即：(t)=0,i∈L。 及矩阵论等理论工具研究了算法的有限时间收敛，在 本文的研究目标是设计一种控制器，使得系统 静态拓扑和动态拓扑下均能达到有限时间收敛。 能在有限时间内实现包容控制。考虑如下控制器： 1代数图论 u.(t)=sgnlo[ad((t)-x(t)] 设G=(V,E,A)是n个节点的权重无向图， sgn[a((t)-v(t))]mieF(2) jeN V={1,2,…,n}为一个顶点（或节点）集合，EC 式中：a(t)表示智能体i与j在t时刻的连接权值， V×V为一个边的集合，A=[a:]∈Rx"为权重邻 N,表示智能体i的邻域，假设P(x)= 接矩阵。对于i∈V,a:=0;对于Hi,j∈V,i≠ [p(x)p(x2)…P(xn)],且P,是一个连续 j,若(i,j)∈w,则a>0,否则，a=0。节点i的 的奇函数满足x:P(x:)>0(Hx:≠0)。假设 邻居集合定义为N,={行∈VI(i,j)∈E}。定义 sgn(x)"[sgn (x)a sgn (x2)a..sgn D=diag(d,d2,…,dn）∈R*a为图x,(t)的度矩 (xn)],sgn(x:)“=|x:sign(x),sigm(·）表示符 库，其中4=公i=12,…。权重图G的 号函数。并且&1，a2为常值，0<1<1，a2= Laplacian矩阵定义为：L=D-A∈Rmxm 21 定义11设集合X={x1,x2,…,xn}为实向 a,+1o 量空间VCR的子集，X的凸包定义为：CO(X)= 设跟随者之间通信拓扑图为G。,由于跟随者 x1x.sx.o.wo. 之间是双向交流信息，所以G为无向图。具有领航 者的多自主体系统的通信拓扑图为G,系统的 定义21s)设拓扑图G,G2,…,Gn具有相同的 Laplacian矩阵如下： 顶点集V,其并集记为G,-m,它的节点集是V,边集 是所有图G,G2,…,Gm的边的并集，它的第i个节点 L= (3) 0m×m 和第j个节点间的链接权重是图第i个节点和第j个 式中：Le为n阶方阵，是跟随者的Laplacian矩阵； 节点间所有的链接权重之和。如果它们的联合图 L为n×m阶矩阵。 G1-m是连通的，称G1,G2,…,Gm为联合连通。 假设1对任意一个跟随者i,至少存在一个领 定义3)考虑如下连续非线性系统：x= 航者j,使得从j到i存在一条通信路径。［６］对动态领航者的二阶系统进行研究，分别提出了 连续渐近包容控制算法和离散渐近包容控制算法。 文献［７］研究了随机切换拓扑下二阶系统的包容控制 问题，提出一种基于不可约马尔可夫链信息拓扑的包 容控制算法。 文献［８］研究了二阶系统的分布式包容 控制问题，并给出了系统收敛的充分必要条件。 从以 上文献研究可知，虽然均能实现系统的包容控制要 求，但是实现时间是不确定的。 在工业应用中，仅实现各个智能体特定状态的 渐近一致还不足以满足工业生产需要，还需要系统 在有限时间内达到收敛。 在航天器编队控制和机器 人编队对抗中，有限时间定理得到广泛应用，由于连 续有限时间控制的优点明显，有限时间控制问题受 到越来越多的关注。 文献［１０］ 对有限时间控制问 题进行了综述，介绍了有限时间稳定性的常用判据 和几类典型系统的有限时间控制。 文献［９］研究了 有限时间收敛和参数不确定性有向系统的姿态包容 控制问题。 文献［１１－１４］指出，连续有限时间控制 系统的验证方法主要包括：齐次性方法和有限时间 李雅普诺夫稳定性定理。 本文研究了静态拓扑和动态拓扑下的二阶多智 能体系统能在有限时间内实现包容控制的问题，本文 的创新点在于提出了动态联合连通条件下具有多领 航者的有限时间的包容控制算法，应用现代控制理论 及矩阵论等理论工具研究了算法的有限时间收敛，在 静态拓扑和动态拓扑下均能达到有限时间收敛。 １ 代数图论 设 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ，Ａ） 是 ｎ 个节点的权重无向图， Ｖ ＝｛１，２，…，ｎ｝ 为一个顶点（或节点） 集合， Ｅ ⊆ Ｖ ×Ｖ 为一个边的集合， Ａ ＝ ［ａｉｊ］ ∈ Ｒ ｎ×ｎ 为权重邻 接矩阵。 对于 ∀ｉ∈Ｖ ， ａｉｉ ＝ ０；对于 ∀ｉ，ｊ∈Ｖ ， ｉ≠ ｊ ，若 （ｉ，ｊ） ∈ ω ，则 ａｉｊ ＞ ０，否则， ａｉｊ ＝ ０。 节点 ｉ 的 邻居集合定义为 Ｎｉ ＝ ｛ｊ ∈ Ｖ ｜ （ｉ，ｊ） ∈ Ｅ｝ 。 定义 Ｄ ＝ｄｉａｇ（ｄ１ ，ｄ２ ，…，ｄｎ ） ∈ Ｒ ｎ×ｎ 为图 ｘＬ（ｔ） 的度矩 阵，其中 ｄｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ ， ｉ ＝ １，２，…，ｎ 。 权重图 Ｇ 的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵定义为： Ｌ ＝ Ｄ － Ａ ∈ Ｒ ｎ×ｎ 。 定义 １ ［５］ 设集合 Ｘ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｍ ｝ 为实向 量空间 Ｖ ⊆ Ｒ ｐ 的子集， Ｘ 的凸包定义为： ＣＯ（Ｘ） ＝ ｛∑ ｍ ｉ ＝ １ αｉ ｘｉ ｜ ｘｉ ∈ Ｘ，αｉ ≥ ０，∑ ｍ ｉ ＝ １ αｉ ＝ １｝ 。 定义 ２ ［１５］ 设拓扑图 Ｇ１ ，Ｇ２ ，…，Ｇｍ 具有相同的 顶点集 Ｖ ，其并集记为 Ｇ１－ｍ ，它的节点集是 Ｖ ，边集 是所有图 Ｇ１ ，Ｇ２ ，…，Ｇｍ 的边的并集，它的第 ｉ 个节点 和第 ｊ 个节点间的链接权重是图第 ｉ 个节点和第 ｊ 个 节点间所有的链接权重之和。 如果它们的联合图 Ｇ１－ｍ 是连通的，称 Ｇ１ ，Ｇ２ ，…，Ｇｍ 为联合连通。 定义 ３ ［１３］ 考虑如下连续非线性系统： ｘ · ＝ ｆ（ｘ） ， ｘ（０） ＝ ｘ０ ∈ Ｒ ｎ 。 其中连续向量流 ｆ（ｘ） ＝ ［ｆ １（ｘ） ｆ ２（ｘ） … ｆ ｎ（ｘ）］ Ｔ 与带有扩张 ｒ ＝ （ｒ１ ， ｒ２ ，…，ｒｎ ） ， ｒｉ ＞ ０ 的度 ｋ ∈ Ｒ 是齐次的，如果对于任 意的 ε ＞ ０， ｘ ∈ Ｒ ｎ 都有 ｆ ｉ（ε ｒ１ ｘ１ ，ε ｒ２ ｘ２ ，…，ε ｒｎ ｘｎ ） ＝ ε ｋ＋ｒ ｉ ｆ ｉ（ｘ） ， ｉ ＝ １，２，…，ｎ 。 引理 １ ［１４］ 设系统 ｘ · ＝ ｆ（ ｘ） ， ｘ（ ０） ＝ ｘ０ ∈ Ｒ ｎ 与带有扩张 （ ｒ１ ，ｒ２ ，…，ｒｎ ） 的度 ｋ ∈ Ｒ 是齐次 的，函数 ｆ（ ｘ） 是连续的，且 ｘ ＝ ０ 是它的一个渐 近稳定平衡点，如果齐次度 ｋ ＜ ０，则该系统就是 有限时间收敛的。 ２ 二阶多自主体系统的包容控制 假设二阶多自主体系统由 ｎ 个跟随者和 ｍ 个 领航者组成，其动力学模型描述为 ｘ · ｉ（ｔ） ＝ ｖｉ（ｔ）， ｖ ·{ ｉ（ｔ） ＝ ｕｉ（ｔ）， ｉ ＝ １，２，…，ｎ，ｎ ＋ １，…，ｎ ＋ ｍ （ １ ） 式中： ｘｉ（ｔ） ∈ Ｒ 表示第 ｉ 个智能体在 ｔ 时刻的位置， ｖｉ（ｔ） ∈ Ｒ 表示速度， ｕｉ（ｔ） ∈ Ｒ 表示控制输入。 跟 随者集合与领航者集合分别记为 Ｆ ＝ ｛１，２，…，ｎ｝ 和 Ｌ ＝ ｛ｎ ＋ １，ｎ ＋ ２，…，ｎ ＋ ｍ｝ ，本文考虑静态领航 者的情况，即 ｖｉ（ｔ） ＝ ０， ｉ ∈ Ｌ 。 本文的研究目标是设计一种控制器，使得系统 能在有限时间内实现包容控制。 考虑如下控制器： ｕｉ（ｔ） ＝ ｓｇｎ｛φ１ ［∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘｊ（ｔ） － ｘｉ（ｔ））］｝ α１ ＋ ｓｇｎ｛φ２ ［∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｖｊ（ｔ） － ｖｉ（ｔ））］｝ α２ ，ｉ ∈ Ｆ（ ２ ） 式中： ａｉｊ（ｔ） 表示智能体 ｉ 与 ｊ 在 ｔ 时刻的连接权值， Ｎｉ 表 示 智 能 体 ｉ 的 邻 域， 假 设 φｌ（ｘ） ＝ ［φｌ（ｘ１ ） φｌ（ｘ２ ） … φｌ（ｘｎ ）］ ，且 φｌ 是一个连续 的奇 函 数 满 足 ｘｉφｌ（ｘｉ） ＞ ０（∀ｘｉ ≠ ０） 。 假 设 ｓｇｎ （ｘ） α ＝ ［ｓｇｎ （ｘ１ ） α ｓｇｎ （ｘ２ ） α … ｓｇｎ （ｘｎ ） α ］， ｓｇｎ （ｘｉ） α ＝ ｘｉ α ｓｉｇｎ（ｘｉ） ， ｓｉｇｎ（·） 表示符 号函数。 并且 α１ ， α２ 为常值， ０ ＜ α１ ＜ １， α２ ＝ ２α１ α１ ＋ １ 。 设跟随者之间通信拓扑图为 ＧＦ ，由于跟随者 之间是双向交流信息，所以 ＧＦ 为无向图。 具有领航 者的多自主体系统的通信拓扑图为 Ｇ ， 系统的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵如下： Ｌ ＝ ＬＦ ＬＦＬ ０ｍ×ｎ ０ｍ×ｍ é ë ê ê ù û ú ú （ ３ ） 式中： ＬＦ 为 ｎ 阶方阵，是跟随者的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ 矩阵； ＬＦＬ 为 ｎ × ｍ 阶矩阵。 假设 １ 对任意一个跟随者 ｉ ，至少存在一个领 航者 ｊ ，使得从 ｊ 到 ｉ 存在一条通信路径。 第 ２ 期 庄昊，等： 联合连通拓扑下的二阶多自主体系统有限时间包容控制 ·１８９·