高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 定义设x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2,恒有 f+3)<)+f2 2 2 那么称x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有 f古+)f)+f) 2 2 那么称x)在1上的图形是（向上）凸的（或凸弧）. 定义'设函数=x)在区间【上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上 方，则称该曲线在区间I上是凹的：如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称 该曲线在区间！上是凸的. 凹凸性的判定： 定理设x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在(a,b)内f"x)>0,则x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)若在(a,b)内f"(x)0,则)在[ab]上的图形是凸的. 简要证明只证().设x,,∈[ab,且x<,记0=当十5 2 由拉格朗日中值公式，得 f）-=f传-6=f5)2,<<, f)=5,-6=f5)2,<6<, 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 f)+,)-2f,)-/5)-f5 =f(⑤5-5)卢5>0,5<5<5， 即片>点生艺)，所以a上的图形是四的， 2 拐点：连续曲线)=x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线=x)的凹凸区间和拐点的步骤： (1)确定函数y=x)的定义域； (2)求出在二阶导数"(x): (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； 4