高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (-0,1] [1,2] [2,+0) f'(x) × - Ax) → 函数x)在区间(-0,1]和[2，+0)内单调增加，在区间[1,2]上单调减少 例5.讨论函数y=x3的单调性. 解函数的定义域为：(-0，+o), 函数的导数为：y=3x2.除当x=0时，y-0外，在其余各点处均有y>0.因此函数 y=x3在区间(-0,0]及[0，+o)内都是单调增加的.从而在整个定义域：(-o,+∞)内是单调增加 的.在x0处曲线有一水平切线。 一般地，如果f'x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，那 么x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例6.证明：当>1时，2>3-1 证明：令f)=2乐-6-马，则 fe女卓-0. 因为当>1时，f"(>0,因此x)在[1，+o)上x)单调增加，从而当x>1时，x)>1), 由于1)=0，故x)>1)=0,即 2-3-)>0, Y 也就是2F>3-上(>1). 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念： 个 fx)+f(】 f()-f) 2 fx)】 x2) x1) f(x2) +x红 X2 +2 X2 2 2 3