1[n(P2+2Jn()M+(]+a() 令A=fn(B0),B=f(P0),C=fn(P0),则当P为驻点时,有 f(x+h,y0+k)-f(x2y)=[4h2+2BMk+Ck于+2)其中 p=√h2+k2可见式f(x+h,yo+k)-f(x,y)的符号由二次型 h2+2BM+Ck2完全决定称该二次型的矩阵为函数f(x,y)的Hes矩阵 于是由上述代数准备,有 i〉A>0,AC-B2>0,→P为(严格)极小值点 i〉A<0,AC-B2>0,→P为(严格)极大值点 i1AC-B2<0时,P不是极值点 i>AC-B2=0时,P可能是极值点,也可能不是极值点 综上,有以下定理 Th4设函数∫(P)在点P的某邻域内有连续的二阶偏导数,P是驻点.则 i>Jn(P)>0,(mfn-f2P)>0时,P为极小值点: Ⅱ>J(2)<0,(Jn-/2P)>0时,P为极大值点 (nfn-/f2kP)<0时,P不是极值点; t>(。fn-f2)P)=0时,P可能是极值点,也可能不是极值点 例1-4P189-19 最小二乘法: 215[ ] )()()(2)( !2 1 2 2 0 0 2 xx 0 + xy + yy kPfhkPfhPf + D ρ . 令 = xx PfA 0 )( , = xy PfB 0 )( , = yy PfC 0 )( , 则当 为驻点时 P0 , 有 [ ] 2 )( 2 1 ),() , ( 2 2 2 0 0 −++ 00 CkBhkAhyxfkyhxf +++= D ρ . 其中 22 ρ += kh .可见式 ),() , ( 0 0 00 ++ − yxfkyhxf 的符号由二次型 完全决定.称该二次型的矩阵为函数 的 Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有 2 2 2 ++ CkBhkAh yxf ),( ⅰ> , 0 0, 为 ( 严格 ) 极小值点 ; 2 BACA >−> 0 ⇒ P ⅱ> , 0 0 , 为 ( 严格 ) 极大值点 ; 2 BACA >−< 0 ⇒ P ⅲ> 0 时, 不是极值点; 2 BAC <− P0 ⅳ> 0 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 2 BAC =− P0 综上 , 有以下定理 . Th 4 设函数 在点 的某邻域内有连续的二阶偏导数 Pf )( P0 , P0 是驻点 . 则 ⅰ> , 0)( ( ) 0)( 0 2 xx 0 > xyyyxx PfffPf >− 时 , 为极小值点; P0 ⅱ> , 0)( ( ) 0)( 0 2 xx 0 < xyyyxx PfffPf >− 时 , 为极大值点; P0 ⅲ> ( ) 0)( 0 2 xyyyxx Pfff <− 时 , 不是极值点; P0 ⅳ> ( ) 0)( 0 2 xyyyxx Pfff =− 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . P0 例 1—4 P189—191 . 二． 最小二乘法： 215