三.函数的最值: 例5求函数 f∫(x,y)= 在域D={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤4}上的最值 f1(x,y)=2x+4y-10=0, 解令 f,(x,y)=4x-4y+4=0.解得驻点为(1,2).f(1,2)=-1 在边界x=0(0≤y≤4)上,f(0,y)=-2y2+4y,驻点为y=1 f(0,1)=2 在边界y=0(0≤x≤4)上,f(x,0)=x2-10x,没有驻点 在边界y=4-x(0≤x≤4)上,f(x,4-x)=-5x2+18x-16 驻点为x=18,f(1.8,4-1.8)=0.2 又f(0,0)=0,f(0,4)=-16,f(4,0)=-24 于是 maxf(x,y)=max{f(12),f(0,1),f(1.8,2.2),f(0,0),f(0,4),f(4,0)}= max{-1,2,0.2,0,-16,-24}=0.2 minf(x,y)=min{-1,2,0.2,0 §2条件极值(1时) 条件极值问题:先提出下例 例要设计一个容积为V的长方体形开口水箱.确定长、宽和高,使水箱的表 面积最小.分别以x、y和表示水箱的长、宽和高,该例可表述为:在约 束条件xz=V之下求函数S(x,y,z)=2(x+y=)+xy的最小值 条件极值问题的一般陈述 条件极值点的必要条件 设在约束条件p(x,y)=0之下求函数z=f(x,y)的极值.当满足约束条件的点 (x,y0)是函数f(x,y)的条件极值点,且在该点函数q(x,y)满足隐函数存在 条件时,由方程p(x,y)=0决定隐函数y=g(x),于是点x0就是一元函数 216三．函数的最值： 例 5 求函数 yxf ),( 41024 yxyxyx 2 2 +−−+= 在域 D = yxyxyx ≤+≥≥ } 4 , 0 , 0 |),( { 上的最值 . 解 令 解得驻点为 . ⎩ ⎨ ⎧ =+−= =−+= .04 44),( ,01042),( yxyxf yxyxf y x ) 2 , 1 ( f = −1) 2 , 1 ( . 在边界 yx ≤≤= ) 40 ( 0 上 , 42),0( yyyf , 驻点为 2 +−= y = 1 , f = 2)1,0( ; 在边界 xy ≤≤= ) 40 ( 0 上 , 10)0,( xxxf , 没有驻点; 2 −= 在边界 ≤−= xxy ≤ ) 40 ( 4 上 , 16185)4 , ( , 2 xxxxf −+−=− 驻点为 x = 8.1 , f =− 2.0)8.14 , 8.1( . 又 f = f = − f = −24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0( . 于是 , = fffyxf fff )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max = D −= −− = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{ . yxf ),(minD −= − − = −24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{ . Ex P195 . § 2 条件极值 ( 1 时 ) 一、 条件极值问题 : 先提出下例: 例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表 面积最小 . 分别以 x 、 y 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约 束条件 之下求函数 z = Vxyz = + )(2),,( + xyyzxzzyxS 的最小值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二、 条件极值点的必要条件 : 设在约束条件ϕ yx = 0),( 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件的点 是函数 的条件极值点 , 且在该点函数 z = yxf ),( ),( 00 yx yxf ),( ϕ yx ),( 满足隐函数存在 条件时, 由方程 ϕ yx = 0),( 决定隐函数 = xgy )( , 于是点 就是一元函数 0 x 216