z=f(x,g(x)的极限点,有 dz 女=+,8(x)=0 代入g(x0)=、(x0,y0)就有 0,(x0,y0) q2(x0,y) f(x0,y0)-f,(x。,y0) (x,B)0 (以下Jx、f,、Q2、卯,均表示相应偏导数在点(x。,y0)的值) 即Jxg,-f,92=0,亦即(fx,f)·(,,-91)=0 可见向量(fx,f,)与向量(,,-91)正交注意到向量(q3,,)也与向 量(,,-g)正交,即得向量(Jx,J,)与向量(x,o,线性相关,即存 在实数λ,使 (fx,f,)+1 A=0 亦即 J,+0,=0 三、 lagrange乘数法 由上述讨论可见,函数z=f(x,y)在约束条件p(x,y)=0之下的条件极值点应 f(x,y)+A2(x,y)=0, 是方程组 J,(x,y)+1,(x,y)=0,的解 P(x,y)=0 倘引进所谓 Lagrange函数 L(x,y,A)=f(x,y)+p(x,y),(称其中的实数λ为 Lagrange乘数) 则上述方程组即为方程组 L1(x,y,A)=0, L,(x,y,)=0 (x,y,)=0 以三元函数,两个约束条件为例介绍 Lagrange乘数法的一般情况 四、用 lagrange乘数法解应用问题举例: 例1.求容积为V的长方体形开口水箱的最小表面积 例2.抛物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一个椭圆求该椭圆到坐标原 点的最长和最短距离 217217 = ( xgxfz )( , )的极限点 , 有 += ′ xgff = 0)( dx dz yx . 代入 ),( ),( )( 00 00 0 yx yx xg y x ϕ ϕ ′ −= , 就有 0 ),( ),( ),(),( 00 00 00 − 00 = yx yx yxfyxf y x x y ϕ ϕ , ( 以下 、 、 x f y f ϕ x 、ϕ y 均表示相应偏导数在点 的值 ),( . ) 00 yx 即 x f ϕ y — y f ϕ x = 0 , 亦即 ( , ) x f y f ⋅( ϕ y , −ϕ x ) = 0 . 可见向量( f x , f y )与向量 ( ϕ y , −ϕ x )正交. 注意到向量 ( ϕ x , ϕ y )也与向 量( ϕ y , −ϕ x )正交, 即得向量( f x , f y )与向量 ( ϕ x , ϕ y )线性相关, 即存 在实数λ , 使 ( , ) + x f y f λ ( ϕ x , ϕ y ) = 0. 亦即 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ . 0 , 0 yy xx f f λϕ λϕ 三、Lagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 z = yxf ),( 在约束条件ϕ yx = 0),( 之下的条件极值点应 是方程组 的解. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = . 0),( , 0),(),( , 0),(),( yx yxyxf yxyxf y y x x ϕ λϕ λϕ 倘引进所谓 Lagrange 函数 λ += λϕ yxyxfyxL ),(),(),,( , ( 称其中的实数λ 为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = . 0),,( , 0),,( , 0),,( λ λ λ λ yxL yxL yxL y x 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 . 四、 用 Lagrange 乘数法解应用问题举例 : 例 1．求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 . 例 2．抛物面 =+ zyx 被平面 22 ++ zyx = 1截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原 点的最长和最短距离