高等数学教案 第一章函数与极限 简要证明：参看附图，设圆心角∠A0B=x(0<x<受) 显然BC<AB<AD,因此sinx<x<tanx, 从而cosx<sinx<1(此不等式当x<0时也成立). 因为limcos=l,根据准则y,lim sinx=-l. 应注意的问题： 在极限im sin)中，只要ad)是无穷小，就有1 lim sin)=l. a(x) a(x) 这是因为，令M=a,则u→0，于是lim sina)=limsin4=l. a(x)u0 u limsinx=1,limsi x-0x na(x)=1(cdx→0). a(x) 例1.求im tanx x->0x 解：lim tan=-lim sin.,1=lim sinx.lim1=l. 0x0xCOSx0x0 COSx 例2.求1im1-cosx x-0x2 2sin2 sin2x 解：lim 21,. 2 x-+0x2 、2 sin =im 12= 2x0 x-2 sin 准则Ⅱ单调有界数列必有极限 如果数列x}满足条件 x1≤x2≤x3≤·≤xm≤x+1≤， 就称数列{x}是单调增加的；如果数列{xm}满足条件 x2x22x32·≥xm2x+12, 就称数列{xm}是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列 如果数列{xn}满足条件xm≤xn+1,n∈N, 在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛.现在 3