高等数学教案 第一章函数与极限 准则Ⅱ表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数 列一定收敛 准则Ⅱ的几何解释： 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点 A,而对有界数列只可能后者情况发生 根据准则L,可以证明极限imQ+y存在. 设x,=Q+”,现证明数列{xn}是单调有界的. 按牛顿二项公式，有 -0r+-0-2品+-20-” 一十 1!n 2!n2 000+ .11、,1 x1=+1+z 1 n+1 比较xn,x1的展开式，可以看出除前两项外，xn的每一项都小于x的对应项，并且x 还多了最后一项，其值大于0，因此 Xn<xm-l, 这就是说数列{xn}是单调有界的， 这个数列同时还是有界的.因为x的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替，得 1 1- 111 11 1 <1+l+2…1+1+22+… 2=1+ 2n =3 2m3 根据准则Ⅱ，数列{xn}必有极限.这个极限我们用e来表示.即 im+分r=e。 我们还可以证明lim+)少r=e.e是个无理数，它的值是 K-oo e=2.718281828459045. 指数函数y=e以及对数函数=lnx中的底e就是这个常数. 在极限lim[1+a(x)]am中，只要a(x)是无穷小，就有