5-1 原式=lim 2 1+ 3.利用无穷小的性质求函数极限 小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母 极限为零，而分子极限存在的函数极限)：利用有界函数与无穷小的 乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函 数极限) 例3求下列函数的极限 (1)1im x2+1 (2)lim xsinx x1x-1 +x3 解(1)因为1im(x-)=0而1im(x2+1)≠0，求该式的极限需用无穷 小与无穷大关系定理解次，因为四=0，所以当：→1时，是 x2+1 无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即i x2+1 =00. -1x-1 (2)不能直接运用极限运算法则，因为当x→+0时分子，极限 1 不存在，但sinx是有界函数，即sinxs1而Iim- =lim V+x x=0， 1 *1 因此当x→+∞时，一x为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍 为无穷小定理，即得 xSinx lim =0 +x3原式= 5 2 1 1 5 lim     x x x ． 3. 利用无穷小的性质求函数极限 小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母 极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的 乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函 数极限）． 例 3 求下列函数的极限 （1） 1 1 lim 2 1    x x x ， （2） 3 sin lim 1 x x x x   ． 解（1） 因为lim( 1) 0 1    x x 而lim( 1) 0 2 1    x x ，求该式的极限需用无穷 小与无穷大关系定理解决．因为 0 1 1 lim 2 1     x x x ，所以当 x 1时， 1 1 2   x x 是 无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即      1 1 lim 2 1 x x x ． （2）不能直接运用极限运算法则，因为当 x  时分子，极限 不存在，但sin x 是有界函数，即 sin x 1而 0 1 1 1 lim 1 lim 3 3       x x x x x x ， 因此当 x   时， 3 1 x x  为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍 为无穷小定理，即得 3 sin lim 0 1 x x x x   