A-∈B(X),取B=A-1,则AB=BA=I 2)→(3).实际上Vx∈X,令y=Ax.由BA=Ⅰ知道 By=BAx=x,于是 x‖=‖By‖s≤‖B‖‖y‖=‖B‖‖Ax‖ 又由1圳Is‖A‖‖B‖知道‖B|≠0.取‖Bl=a,则从上式得到 ‖Ax| ∥Bx|a‖x,vx∈x 由AB=I知道A是到上的 (3)→(4).若Ax=0知道x=0,故N(A)={0} (4)→(1).由N(A)={0)}知A是一一的,于是A存在,又A到 上,根据逆算子定理知A∈B(X) 定理2设A,B∈B(X) (1)若A是正则算子,则A是正则算子并且(4-)-1=A (2)若A,B是正则算子,则AB是正则算子并且 (AB)=B-A (3)若A是正则算子,则A是正则算子并且(A)=(4-) 证明1°A正则,故A∈B(X)并且A4-=A-A=1.由于 A∈B(X),从定理1(2)知A正则并且A=(A-) 2°由正则性的定义,A,B-∈B(X),并且 AA-=A-A=1,BB-=B-B=1, 于是 (B-A-)(AB)=B(A-AB=B-B=I (ABB A=A(BB)A =AA=I 故AB正则并且(AB)=BA 3°由A∈B(X),故(A-)存在并且(A)∈B(X)3 ( ) 1 A ∈ Β X − ，取 −1 B = A , 则 AB = BA = I . (2) ⇒ (3). 实际上 ∀x ∈ X , 令 y = Ax . 由 BA = I 知 道 By = BAx = x ,于是 || || || || || || x = ≤ By B || || || || y B = || Ax || 又由1 || || || || = ≤ I A || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 1 || || B α − = , 则从上式得到 || || || || || || 1 || || x x B Ax ≥ = α , ∀x∈ X . 由 AB = I 知道 A 是到上的. (3)⇒(4). 若 Ax = 0知道 x = 0, 故 N(A) = {0}. (4) ⇒(1). 由 N(A) = {0}知 A 是一一的,于是 −1 A 存在, 又 A 到 上, 根据逆算子定理知 ( ) 1 A ∈ Β X − . 定理 2 设 A, B ∈ Β(X ) . (1) 若 A 是正则算子, 则 −1 A 是正则算子并且 A = A −1 −1 ( ) . (2) 若 A, B 是正则算子，则 AB 是正则算子并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . (3) 若 A 是正则算子, 则 * A 是正则算子并且 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A . 证明 D 1 A 正则，故 ( ) 1 A ∈ Β X − 并且 AA = A A = I −1 −1 . 由于 A∈ Β(X ) ，从定理 1(2)知 −1 A 正则并且 1 1 ( ) − − A = A . D 2 由正则性的定义， , ( ) 1 1 A B ∈ Β X − − ，并且 AA = A A = I −1 −1 ， BB = B B = I −1 −1 ， 于是 B A AB = B A A B = B B = I −1 −1 −1 −1 −1 ( )( ) ( ) . AB B A = A BB A = AA = I −1 −1 −1 −1 −1 ( )( ) ( ) . 故 AB 正则并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . D 3 由 ( ) 1 A ∈ Β X − ，故 1 * ( ) − A 存在并且 ( ) ( ) 1 * * A ∈ Β X −