又AA=AA=Ix,于是对两边取共轭得到 A'(4-)=(A-)A=I=I 故(A)=(A) 以下我们就复空间进行讨论.这是为了充分应用复解析函数的 优越性质 注意对于赋范代数B(X),关于算子A的多项式 +a,A+ 总是有意义的.甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的同时 算子幂级数∑an"(=D)的收敛性乃至算子函数f()的解析性 都可以加以定义.例如表达式 ∑,sinA=∑(-1) 等在范数收敛意义下都代表B(x)中的元素.下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的 定理3( von neumann)设X是 Banach空间,A∈B(X),A∈C 若‖A‖<|A|,则石-A是正则算子 证明令B=f 打m,不妨设∥ =a,则0≤a<1并且 Bn|∑ A ≤ -|A|(1-a)|A|-‖A‖ 于是Bn∈B(X).对于每个x∈X,若m>n,则 A ‖Bnx-Bnx|‖ A|-‖!Al ‖x‖→0,(m,n→∞) {Bnx}是 Cauchy序列,故 limb x存在.由 Banach- Steinhaus定理, 存在B∈B(X),使得4 又 X AA = A A = I −1 −1 ，于是对两边取共轭得到 * * 1 * 1 * * * ( ) ( ) X X A A = A A = I = I − − . 故 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A . 以下我们就复空间进行讨论. 这是为了充分应用复解析函数的 优越性质. 注意对于赋范代数 Β( ) X , 关于算子 A 的多项式 0 1 n n aI aA aA + ++ " 总是有意义的. 甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的. 同时 算子幂级数 0 ( ) n o n n aA A I ∞ = ∑ = 的收敛性乃至算子函数 f ( ) A 的解析性 都可以加以定义. 例如表达式 2 1 0 0 , sin ( 1) ! (2 1)! n n A n n n A A e A n n ∞ ∞ + = = = =− + ∑ ∑ 等在范数收敛意义下都代表 Β( ) X 中的元素. 下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的. 定理 3(von Neumann) 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) , λ ∈C , 若 || || | | A < λ ，则 λI − A是正则算子. 证明 令 ∑= + = n i i i n A B 0 1 λ ，不妨设 α λ = | | || A || ，则 0 ≤ α < 1并且 ∑ ∑= + = + ≤ ≤ n i i n i i i i n A A B 0 1 0 1 | | || || | | || || || || λ λ | | (1 ) 1 λ −α ≤ | | || || 1 − A = λ . 于是 B (X ) n ∈ Β . 对于每个 x ∈ X ，若 m > n，则 || || || || 1 1 x A B x B x m i n i i m n ∑= + + − ≤ λ || || | | || || 1 x A n − ≤ + λ α → →∞ 0, ( , ) m n {B x} n 是 Cauchy 序列，故 B xn n→∞ lim 存在. 由 Banach-Steinhaus 定理， 存在 B ∈ Β(X ) ，使得