lim x=Bx,Vx∈X (5-1-1) 又A∈B(X),故M-A∈B(X).对于每个x∈X, (1-A)Bx=lim(1-A)B,x =im(-4 A n+1 an+)x=Ix 即(a-A)B=1 另一方面,在式(5-1-1)中,以(-A)x代替x,则 B(l-A)x=lim( )(-A) =m(A∑2)x lim(I )x=lx 即B(AI-A)=1 由定理1(2)知,M-A是正则算子并且B=(4-A).换句话 ,在算子的点点收敛(实际上也可证明在范数收敛)意义下 (-4)-=∑ 由 Banach- Steinhaus定理的结论还知道 (-4)H= B Slime,-A‖ 定理3的结论使得算子A-A的正则性与复平面上的点联系起5 B x Bx n n = →∞ lim , ∀x∈ X . (5-1-1) 又 A∈ Β(X ) ，故 λI − A∈ Β(X ) . 对于每个 x ∈ X ， I A Bx I A B xn n ( − ) = lim( − ) →∞ λ λ x A I A n i i i n lim( )( ) 0 ∑ 1 = + →∞ = − λ λ x A A n i i n i i i i n lim( ) 0 1 1 0 ∑ ∑= + + = →∞ = − λ λ x Ix A I n n n = − = + + →∞ lim( ) 1 1 λ 即 (λI − A)B = I . 另一方面，在式(5-1-1)中，以 (λI − A)x 代替 x ，则 I A x A B I A x n i i i n ( ) lim( )( ) 0 1 − = ∑ − = + →∞ λ λ λ x A A n i i n i i i i n lim( ) 0 1 1 0 ∑ ∑= + + = →∞ = − λ λ x Ix A I n n n = − = + + →∞ lim( ) 1 1 λ 即 B(λI − A) = I . 由定理 1(2)知， λI − A 是正则算子并且 1 ( ) − B = λI − A . 换句话 说，在算子的点点收敛(实际上也可证明在范数收敛)意义下 ∑ ∞ = + − − = 0 1 1 ( ) n n n A I A λ λ (5-1-2) 由 Banach-Steinhaus 定理的结论还知道 || ( ) || || || 1 I − A = B − λ | | || || 1 lim || || A Bn n − ≤ ≤ →∞ λ 定理 3 的结论使得算子 λI − A的正则性与复平面上的点联系起