AB(x)=A(B(x),Vx∈X 这种运算满足 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+ AC (A+B)C=AC +BC, k(AB)=(kA)B=A(kB),k∈Φ 以表示单位算子,则A=MA=A.若‖‖是B(X)上的范数,则 ‖AB‖≤‖A‖‖B‖,A,B∈B(X) 由于B(X)中能够引进乘法运算并且具有以上性质,我们称B(X)是 个赋范代数,称I为单位元若B(X)还是完备的,则称其为 Banach 代数 Banach代数的概念也可以完全公理式地加以定义.不过,本质 上说来,任何一个 Banach代数都可以看成某个空间上的算子代数 前面几章我们已经接触过逆算子的概念,并且知道当A是线性算 子时,若A-存在,则A也是线性算子.现在我们将从B(X)中元素 的角度进一步考察逆算子 定义1称A∈B(X)是正则算子,若A是到上的,A存在并 且是有界算子 定理1设X是 Banach空间,A∈B(X),则以下条件等价: (1)A是正则算子 (2)存在B∈B(X),AB=BA=1.此时B即是A1 (3)A是到上的并且存在a>0,‖Ax|a‖xl,vx∈X (4)A是一一的到上的 证明(1)→(2).若A是正则算子,A存在并且2 AB(x) = A(B(x)), ∀x∈ X. 这种运算满足 A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC ， (A + B)C = AC + BC ， k(AB) = (kA)B = A(kB)， k ∈Φ . 以 I 表示单位算子，则 AI = IA = A. 若 || || ⋅ 是 Β(X )上的范数，则 || AB|| ||A|| ≤ || B ||， ∀A, ( ), B BX ∈ 由于 Β(X )中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称 Β(X )是一 个赋范代数, 称 I 为单位元. 若 Β(X ) 还是完备的, 则称其为 Banach 代数. Banach 代数的概念也可以完全公理式地加以定义. 不过, 本质 上说来, 任何一个 Banach 代数都可以看成某个空间上的算子代数. 前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当 A 是线性算 子时，若 −1 A 存在，则 −1 A 也是线性算子. 现在我们将从 Β(X )中元素 的角度进一步考察逆算子. 定义 1 称 A∈ Β(X ) 是正则算子，若 A 是到上的， −1 A 存在并 且是有界算子. 定理 1 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) ，则以下条件等价： (1) A 是正则算子. (2) 存在 B ∈ Β(X ) ， AB = BA = I . 此时 B 即是 −1 A . (3) A 是到上的并且存在 α > 0， || Ax ||≥ α || x || , ∀ ∈x X. (4) A 是一一的到上的. 证 明 (1) ⇒ (2). 若 A 是正则算子， −1 A 存在并且