《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式 才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代 (三)小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征一一其商 是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较 例如1 imxsin=limr=0. 二、无穷大量 (一)问题“无穷小量是以0为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数” 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲A为函数f(x)当x→x,时的极限， 意味着A是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无 穷大量是以0为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当x→x,时，f(x)与(+oor-o) 无限接近。 例如：1))=当x→0时，与∞越来越接近，而且只要x与0充分接近，就会 无限增大：2》)X一，当x→1时，也具有上述特性. 在分析中把这类函数fx)称为当x→x时有非正常极限0.其精确定义如下： (二)非正常极限 定义2（非正常极限）设函数fx)在某U(x)内有定义，若对任给的M>0,存在6>0， 当x∈U(x;6(cU(x》时有1fx)pM,则称函数f(x)当x→x,时有非正常极限o,记作 lim f(x)=. 注1)若“1x)PM”换成“fx)>M”,则称fx)当x→x时有非正常极限+o:若换 成fx)<-M,则称fx)当x→x时有非正常极限-o,分别记作Imfx)=o,limf(x)=-o. 2)关于函数∫在自变量x的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{a}当 n→∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如： limf(x)=-o一M>0,当x>M时，f(x)<-M: 1ima=+oM>0,3N>0,当n>N时，an>M 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 6 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式 才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代. (三) 小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征——其商 是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较. 例如 0 0 1 2 lim sin lim 0 x x x x x x → → x = = . 二、无穷大量 (一) 问题 “无穷小量是以 0 为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以  为极限的函数”. 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数 f x( ) 当 0 x x → 时的极限， 意味着Ａ是一个确定的数，而“  ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无 穷大量是以  为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当 0 x x → 时， f x( ) 与  + −  ( ) or 无限接近. 例如：1） 1 f x( ) x = ，当 x →0 时， 1 x 与  越来越接近，而且只要 x 与 0 充分接近， 1 x 就会 无限增大；2） 1 ( ) 1 f x x = − ，当 x →1 时，也具有上述特性. 在分析中把这类函数 f x( ) 称为当 0 x x → 时有非正常极限  .其精确定义如下： (二) 非正常极限 定义 2（非正常极限） 设函数 f x( ) 在某 0 0 U x( ) 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在   0 ， 当 0 0 0 0 x U x U x   ( ; )( ( ))  时有 | ( ) | f x M ，则称函数 f x( ) 当 0 x x → 时有非正常极限  ，记作 0 lim ( ) x x f x → =  . 注 1）若“ | ( ) | f x M ”换成“ f x M ( )  ”，则称 f x( ) 当 0 x x → 时有非正常极限 + ；若换 成 f x M ( ) ,  − 则称 f x( ) 当 0 x x → 时有非正常极限 − ，分别记作 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x f x → → = + = −. 2) 关于函数 f 在自变量 x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列 an 当 n → 时的非正常极限的定义，都可类似地给出.例如： lim ( ) 0 x f x M →+ = −    ，当 x M 时， f x M ( )  − ; lim 0 n n a M → = +    ，  N 0 ，当 n N 时， n a M