《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (三)无穷大量的定义 定义3对于自变量x的某种趋向（或n→0），所有以0，+0or-0为非正常极限的函数（包 括数列)，都称为无穷太量 例如：二当x→0时是无穷大量：a(a>)当x→+∞时是无穷大量。 注)无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数： 2)若∫为x→x时的无穷大量，则易见∫为U°(x)上的无界函数，但无界函数却不一定是 无穷大量.例如；fx)=xsinx在U(+o)上无界，但limf(x)≠o; 3)如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、 同阶无穷大量等概念。 (四)利用非正常极限定义验证极限等式 例3证明0)职字，典场，岛}0 @器 医明G0,要使寸>0， 风要水方同电5-右，则k时商 1非字>0即典字 1 其余可类似证明. 号高高“.风动 2141 故数5=m动，当0-水助，有产号M即巴号 例4证明当a>1时，1ma=o. 三、无穷小量与无穷大量的关系 定理（1)设了在Ux)内有定义且不等于0，若了为当x→x时的无穷小量，则上为《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 7 (三) 无穷大量的定义 定义 3 对于自变量 x 的某种趋向（或 n → ），所有以  + − , or 为非正常极限的函数（包 括数列），都称为无穷大量. 例如： 2 1 x 当 x →0 时是无穷大量； ( 1) x a a  当 x → + 时是无穷大量. 注 1）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数; 2）若 f 为 0 x x → 时的无穷大量，则易见 f 为 0 0 U x( ) 上的无界函数，但无界函数却不一定是 无穷大量.例如； f x x x ( ) sin = 在 U( ) + 上无界，但 lim ( ) x f x →+   ; 3）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、 同阶无穷大量等概念. (四) 利用非正常极限定义验证极限等式 例 3 证明 (1) =  → 2 0 1 lim x x ， = + → + x x 1 lim 0 ， = − → − x x 1 lim 0 ; (2) =  − + → 1 2 lim 2 1 x x x . 证明 (1) G  0 ，要使 G x  2 1 ，只要 G x 1 | | .因而取 G 1  = ，则当 0 | |   x  时都有 G x f x =  2 1 | ( ) | 即 =  → 2 0 1 lim x x . 其余可类似证明. (2) 设 2 1 | x −1| 即 2 3 2 1  x  ，M  0 ，欲使 M x x x x x x x  − = −  +  −  + + = − + | 1| 1 5 4 | 1| 1 3/ 2 1 2 | 1| 1 | 1 2 | | 1 2 | 2 成立，只须 M x 5 4 | −1| , 故取 } 5 4 , 2 1 min{ M  = ，当 0 | x −1|  时，有 M x x  − + | 1 2 | 2 即 =  − + → 1 2 lim 2 1 x x x . 例 4 证明当 a 1 时， lim x x a →+ = +. 三、无穷小量与无穷大量的关系 定理 （1）设 f 在 0 0 U x( ) 内有定义且不等于 0，若 f 为当 0 x x → 时的无穷小量，则 1 f 为