《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 acsn282-n22-i(x→1. 是对站 故原式 州4 +a当2 期默他兴男 11 11 千万注意：不是因子不能用等价无方小量错换如一立1，显然不能用中荐” 3 最后给出一个很有用的表达式： -(→即得1，即.0即 g(x) f()-gx)=og(x》或f)=g)+o(g(x》(x→a)）,如snx=x+o(x) 1-raec→0，时称网为e的款宁4宁 1 x2 杂例已知加行-61=0，求a、6, 解原式胆片0身0，数多有09=0 从霜9-1（-创=0 x2 6功 x《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 5 arcsin 3 2 2 x −1∽ 3 2 2 x −1 （ x →1 ）， 故原式 3 2 1 3 3 3 1 2 2 1 2 1 1 lim 2 1 1 lim = + = − − = → → x x x x x 例 4 x e x x e x x x x ln( ) 2 ln(sin ) lim 2 2 2 0 + − + − → . 解 原式 x x x x x x e e x e e 2 2 2 2 0 ln( ) ln ln(sin ) ln lim + − + − = → ln(1 ) ) sin ln(1 lim 2 2 2 0 x x x e x e x + + = → 1 sin lim 2 2 2 0 = = → x x x e x e x . 千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如 2 1 1 1 lim 1 n 1 n n n → − + = ，显然不能用 1 1 n + 替 n 1 最后给出一个很有用的表达式： f x g x x a ( ) ( ) ( → ) 即 ( ) lim 1 ( ) x a f x → g x = ，即 ( ) ( ) lim 0 ( ) x a f x g x → g x − = 即 f (x) − g(x) = o(g(x)) 或 f (x) = g(x) + o(g(x)) (x → a) ， 如 sin x = x + o(x) ， ( ) 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x (x → 0) .此时称 g(x) 为  的主部. ) 1 ( 1 1 1 2 2 2 x o x x x = + + 杂例 已知 ) 0 1 lim ( 2 − − = → + ax b x x x ，求 a、b . 解 原式 ) 0 1 lim ( − − = + = → x b a x x x x ，故必有 ) 0 1 lim ( − − = → + x b a x x x ， 从而 ) 1 1 lim ( − = + = → x b x x a x ) 0 1 lim ( 2 − − = +  → x b x x x 1 1 ) lim 1 lim ( 2 = − + − − = +  = → → x x x x x b x x