《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 但需要注意：四侣不存在，并不意味着了与8不全为同阶无穷小量，如 x(2+sin-) lim=lim x(2+sin0, =1m(2+sin白不存在.但1s (2+sin xs3,所以x x 与x(2+sin)为当x→0时的同阶无穷小量. 由上述记号可知：若∫与g是当x→，时的同阶无穷小量，则一定有： f(x)=O(g(x)x→). (3)若m因=1，则称∫与g是当x→x时的等价无穷小量，记作)-gxx→) 6g(x) 锅0：1Dg-15sm-→0：2)回20-m9151-sx-号c→0. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限 的“等价量法”。 定理设函数f、g、h在U°(x)内有定义，且有fx)-g(xx→x). (1)若1imfx)h)=A,则1img(x)hx)=A: 回者=得=&，周=铝-及 例1求 解ra-(→0血44（→0，故-名-号 r. 州g回子-月 sinx sinx h1+x-) 例3 aresin 2 解x→1时，-可→0,22-1→0,1+-∽(x→1， 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 但需要注意： 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 不 存 在 ， 并 不 意 味 着 f 与 g 不 全 为 同 阶 无 穷 小 量 . 如 0 0 1 lim lim (2 sin ) 0 x x x x → → x = + = ， 0 0 1 (2 sin ) 1 lim lim(2 sin ) x x x x → → x x + = + 不存在.但 1 (2 sin ) 1 3 x x x +   ，所以 x 与 1 x(2 sin ) x + 为当 x →0 时的同阶无穷小量. 由上述记号可知：若 f 与 g 是当 0 x x → 时的同阶无穷小量，则一定有： 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . （3）若 0 ( ) lim 1 ( ) x x f x → g x = ，则称 f 与 g 是当 0 x x → 时的等价无穷小量，记作 0 f x g x x x ( ) ( )( ) → . 例如：1） 0 sin lim 1 sin ( 0) x x x x x → x =  → ; 2） 2 2 0 2(1 cos ) lim 1 1 cos ( 0) x 2 x x x x → x − =  − → . 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限 的“等价量法”. 定理 设函数 f 、 g 、h 在 0 0 U x( ) 内有定义，且有 0 f x g x x x ( ) ( )( ) → . (1) 若 0 lim ( ) ( ) x x f x h x A → = ，则 0 lim ( ) ( ) x x g x h x A → = ； (2) 若 0 ( ) lim , ( ) x x h x B → f x = ，则 0 ( ) lim . ( ) x x h x B → g x = 例 1 求 0 arctan lim x sin 4 x → x . 解 arctan 0 x x x( → ) ，sin 4 4 0 x x x( → ) ，故 0 0 arctan 1 lim lim x x sin 4 4 4 x x → → x x = = . 例 2 2 2 4 4 4 0 0 0 (tan sin ) tan (1 cos ) 1 2 lim lim lim x x x sin sin 2 x x x x x x x x → → → x x x  − − = = = . 例 3 3 2 3 1 arcsin 2 1 ln(1 1) lim − + − → x x x . 解 x →1 时， 3 x −1 → 0，2 1 0 3 x 2 − → ，ln(1 1) 3 + x − ∽ 3 x −1 （ x →1 ）