《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 3、穷小量阶的比较（主要对x→x,叙述，对其它类似） 设当x→x时，了，g均为无穷小量。 1)若一得=0，则称时/为：的离阶无的小道，成称g为了的低阶无方小童 配作8=sr→x.即ogxr→x)台四得p 例卿=0→“-Xx→0，-回0 1-cosx=0(sinx)(x→0). 同题-0-0-0，此时是可说1-f=60+→)2 引申与上述记法：fx)=o(g(x)x→x)相对应有如下记法：fx)=0(g(x)x→x), 这是什么意思？含义如下： 若无穷小量f与g满足关系式国sL,x∈U,则记作f=Ogx→. 例如， 1)1-cosx=0rx→0)，2+sin2=0x→0). 2)若fx)=o(g(x)(x→x)→fx)=Og(x)Mx→x) 注等式f(x)=o(g(x)Mx→x),f(x)=O(g(x)Mx→x)等与通常等式的含义不同的.这里 的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“=”叫的含义是“∈”. 例如：1-=以偏→0，其中m-吗得-小，而上述等式表示通数 1-ose-得=0为方便起见，记作1-s=am (2)若存在正数K和L,使得在某U化)上有K≤国sL,则称∫与g为当x→x时的 g(x) 同阶无穷小量《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 3、穷小量阶的比较（主要对 0 x x → 叙述，对其它类似） 设当 0 x x → 时， f g, 均为无穷小量. （1）若 0 ( ) lim 0 ( ) x x f x → g x = ，则称 0 x x → 时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称 g 为 f 的低阶无穷小量， 记作 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . 即 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = →  0 ( ) lim 0 ( ) x x f x → g x = . 例 1 0 lim 0 k k x x x + → =  1 0( )( 0) k k x x x + = → ， 0 0 1 cos lim lim tan 0 x x sin 2 x x → → x − = =  − = → 1 cos 0(sin )( 0) x x x . 问题 2 1 1 1 lim lim(1 ) 0 x x 1 x x → → x − = − = + ，此时是可说 2 1 (1 )( 1) − = + → x o x x ？ 引申 与上述记法： 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 相对应有如下记法： 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → ， 这是什么意思？含义如下： 若无穷小量 f 与 g 满足关系式 0 0 ( ) , ( ) ( ) f x L x U x g x   ，则记作 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → . 例如， 1） 2 1 cos ( )( 0) − = → x O x x ， (2 sin ) ( )( 0) 2 x x O x x + = → . 2）若 0 0 f x o g x x x f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) ( ) ( ( ))( ) = →  = → . 注 等式 0 f x o g x x x ( ) ( ( ))( ) = → ， 0 f x O g x x x ( ) ( ( ))( ) = → 等与通常等式的含义不同的.这里 的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“ ”. 例如： 1 cos (sin )( 0) − = → x o x x ，其中 0 ( ) (sin ) | lim 0 ( ) x f x o x f → g x   = =     ，而上述等式表示函数 1 cos − x 0 ( ) | lim 0 ( ) x f x f → g x     =   .为方便起见，记作 1 cos (sin ). − = x o x （2）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某 0 0 U x( ) 上有 ( ) ( ) f x K L g x   ，则称 f 与 g 为当 0 x x → 时的 同阶无穷小量