《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 (仁)无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义2（有界量）若函数g在某U(x)内有界，则称g为当x→x,时的有界量，记作： g(x)=O1)(x→x). 例如：血x是当→0时的有界量，即加=00：→：如是当x→0时的有界量。 即sin二=0(x→0). 注任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若fx)=)x→x)，则 fx)=O10(x→x): 区别“有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数∫是有界函数或函数∫是有界的，意味 着存在M>0,∫在定义域内每一点x,都有1f(x)sM.这里“有界”与点无关：而有界是与“点 有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界 2、性质 性质1两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量 性质2无穷小量与有界是的乘积为无穷小量. 性质3imf)=A一f)-A是当，-时的无穷小量台m(f)-小=0. 例如：limxsin-=0,1im(x±r)=0,1 imxsinx=0. 问题两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： 0草手曾-回等2 引申同为无芳小量。一三0，面产不存在：这说明“无穷小量”是有“馒别”的 这个“级别”表现在收敛于0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别” 的标志是x的“指数”，当x→0时，x的指数越大，它接近于0的速度越快这样看来，当x→0 时，x2的收敛速度快于x的收敛速度.所以其变化结果以x2为主.此时称x2是（当x→0时）x的 高阶无穷小量，或称x→0时，x是x的低阶无穷小量. 一般地，有下面定义： 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 (二) 无穷小量的性质 1、先引进以下概念 定义 2（有界量） 若函数 g 在某 0 0 U x( ) 内有界，则称 g 为当 0 x x → 时的有界量，记作： 0 g x O x x ( ) (1)( ) = → . 例如： sin x 是当 x → 时的有界量，即 sin (1)( ) x O x = →  ； 1 sin x 是当 x →0 时的有界量， 即 1 sin (1)( 0) O x x = → . 注 任 何 无 穷 小 量 都 是 有 界 量 （ 局 部 有 界 性 ）， 即 若 0 f x x x ( ) (1)( ) = → ， 则 0 f x O x x ( ) (1)( ) = → . 区别 “有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味 着存在Ｍ>0， f 在定义域内每一点 x ，都有 | ( ) | f x M .这里“有界”与点无关：而有界是与“点 有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界. 2、性质 性质 1 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 性质 2 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量. 性质 3 0 lim ( ) ( ) x x f x A f x A → =  − 是当 0 x x → 时的无穷小量  0 lim( ( ) ) 0 x x f x A → − = . 例如： 2 0 1 lim sin 0 x x → x = ， 2 3 0 0 lim( ) 0,lim sin 0 x x x x x x → →  = = . 问题 两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 sin 2 lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2 x x x x x x x x x x → → → → → x x x x x = = = = = . 引申 同为无穷小量， 2 0 lim 0 x x → x = ，而 2 0 lim x x → x 不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的. 这个“级别”表现在收敛于 0（或趋近于 0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别” 的标志是 x 的“指数”，当 x →0 时， x 的指数越大，它接近于 0 的速度越快.这样看来，当 x →0 时， 2 x 的收敛速度快于 x 的收敛速度.所以其变化结果以 2 x 为主.此时称 2 x 是（当 x →0 时） x 的 高阶无穷小量，或称 x →0 时， x 是 2 x 的低阶无穷小量. 一般地，有下面定义：