高等数学教案 第一章函数与极限 lak<s. 取6=min{6,},则当0<r-xdk6时，有 lu-a<Me 这说明α也是无穷小 例如，当xo时，L是无穷小，arctanx是有界函数，所以arctanx也是无穷小. 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理3如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么 (1)lim [f(x)tg(x)]=limf(x)+limg (x)=4B; (2)limf(x)g(x)=limf(x).limg (x)=4-B; 8m得品得音an 证明(1)：因为limf(x)=A,Iimg(x)=B,根据极限与无穷小的关系，有 f(x)=A+a,g (x)=B+B. 其中a及B为无穷小.于是 f(x)±g(x)=(A+网±(B+)=(A±B)+(a±)， 即f(x)士g:)可表示为常数(A±B)与无穷小（士）之和.因此 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B. 推论1如果limf()存在，而c为常数，则 lim [cf(x)]=c limf(x). 推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则 lim [f(x)]"=[limf(x)]". 定理4设有数列{xn}和yn.如果 lim x=A,lim y=B, 74 那么 (I)lim(xn±yn)=A±B; (2)lim(x)=4.B; (3)当n0(0=l,2,)且B≠0时，1im=4 →0nB 定理5如果gx)2x),而lim(x)=a,limx)=b,那么a2b. 2