第64讲广义积分 227 + +oo In e (1) 2) (3) dx (1 dx (1+x2) 4 2(x-1)4√x(x-2) 解(1)因x-1=2 ),故 dx -d 1;dz] I+I]*or-CarctanT =ln(2+√3)- 12 于是,广义积分收做且其值为1n(2+√3)-历 +∞lnx +∞ (2) dx Inxd() +「dx=[-1]=1 edr (3) (1+e-) (1+e) ∫。-xd(1+) d ln(1+e-)]=ln2. 1十 1 (4)令x=tant,代入得 o (+28=2 1esec'tedt ∞dx cos l4tdt 13119753 141210864 13!!丌 14!!2 (或 135135 1290240 (5)因为√x(x-2)=√x2-2x=√(x-1)2-1.故令x-1=sect, 2(x-1)4√x(x-2)J。sec'tan=2 costa≈2 extant 故广义积分收敛 注意本题中的(4)(5)两式经过换元后广义积分变成了常义积分(即普通定积分),那 么就可以按常义积分求解 例3判定下列积分(被积函数有瑕点)的敛散性 dx sInz (1)」。x-4x+3:(2) (3) z 1- 2x (4)ln(x+1)dx;(5) 1+cos 解(1)因为x2-4x+3=(x-1)(x-3),所以x=1是x-4x+3在[o,21上 的无穷间断点(即瑕点),故 dr dx x2-4x+3=。x2-4x+3 4x+3 dx 因 _1 4x+3 li 2 )dr li dx