例题 例2求微分方程初值问题 u,-a2uxx三0的解. u(x,0)=p(x) 解设u(x,t)关于自变量x的Fourier变换为 +00 a(,t)=u(x,t)e-tXdx. 对方程两边关于自变量x做Fourier变换，得 t(w,t)+a2w2t(ω，t)=0, 解这个微分方程得到（ω，t)=Ce-a2w2t.再对初始条件两边做Fourier变 换，得到（ω，0）=0（ω），于是C=(ω)，即(w,t)=(w)ea2w2t例题 例2 求微分方程初值问题 ቊ 𝑢𝑡 − 𝑎 2𝑢𝑥𝑥 = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥) 的解． 解 设 𝑢(𝑥,𝑡) 关于自变量 𝑥 的 Fourier 变换为 𝑢ො 𝜔,𝑡 = න −∞ +∞ 𝑢 𝑥,𝑡 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥． 对方程两边关于自变量 𝑥 做 Fourier 变换，得 𝑢ො𝑡 𝜔,𝑡 + 𝑎 2𝜔 2𝑢ො 𝜔,𝑡 = 0， 解这个微分方程得到 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝐶𝑒 −𝑎 2𝜔2𝑡．再对初始条件两边做 Fourier 变 换，得到 𝑢ො 𝜔, 0 = 𝜑ො(𝜔)，于是 𝐶 = 𝜑ො(𝜔)，即 𝑢ො 𝜔,𝑡 = 𝜑ො(𝜔)𝑒 −𝑎 2𝜔2𝑡．