例2设f(x)在[a,b]上连续，且恒为正，证明： 对任意的x1,x2∈(a,b),x1<x2,必存在一点5∈[x1,x2], 使f(5)=Vf(x1)f(x2).(补充题) 证：令F(x)=f2(x)-f(x)f(x2),则F(x)∈C[a,b] F(x)F(x2)=-f(x1)fx2)[f(x)-f(x2)]2≤0 当f(x)=f(x2)时，取5=x1或5=x2,则有 f(5)=Vf(x)f(x2) 当f(x1)≠f(x2)时，f(x)>0,.F(x1)F(x2)<0, 故由零点定理知，存在5∈(x1,x2),使F(5)=0,即 f(5)=Vf(x1)f(x2) 2009年7月3日星期五 6 上页 下页 返回 结束2009年7月3日星期五 6 上页 下页 返回 结束 0)()()( 21 2 ξ − xfxff = xf )( ba ],[ 上连续 , 且恒为正 , 对任意的 ,),(, 21 21 xxbaxx 在 ∈ < 必存在一点 证 : ,],[ 21 ξ ∈ xx 使 .)()()( 21 ξ = xfxff 令 )()()()( 21 2 −= xfxfxfxF , 则 xF ∈ C ba ],[)( )()( 21 xFxF )]()()([ 1 21 2 −= xfxfxf )]()()([ 2 21 2 − xfxfxf )()( 21 = − xfxf 2 1 2 − xfxf )]()([ ≤ 0 使 ,)()( 当 1 ≠ xfxf 2 时 ∵ f x > ,0)( ,0)()( ∴ F x F x21 < 故由零点定理知 , 存在 ,),( 21 ξ ∈ xx F ξ = ,0)( 即 .)()()( 21 ξ = xfxff 当 )()( 1 2 = xfxf 时 , 取 1 ξ = x 或 2 ξ = x , 则有 )()()( 21 ξ = xfxff 例2 设 证明 : （补充题）