多元函数的极限 定义1设函数=f(x,y)的定义域为D,(Cx,)是其聚点,如果对于任意给 定的正数E,总存在正数δ,使得对于适合不等式 04PRF(x-x)2+(y-)2<6的一切点,都有(xy)-4kE成立,则 称A为函数=f(xy)当x→x,y→y时的极限, A 记为 (或f(x,y)→A(p→0)这里P=Pl 说明 (1)定义中P→P的方式是任意的; f(x,y) (2)二元函数的极限也叫二重极限y→ (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. Iim(x"+y)sin 例2求证 证 VE>0,彐δ < (x2+y2)sin <E 原结论成立6 二、多元函数的极限 定义 1 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 , ( , ) 0 0 0 D P x y 是其聚点，如果对于任意给 定的正数  ，总存在正数  ，使得对于适合不等式  = − + −  2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) (y y ) 的一切点，都有 | f (x, y) − A|  成立，则 称 A 为函数 z = f (x, y) 当 0 x → x ， 0 y → y 时的极限， 记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 （或 f (x, y) → A ( → 0) 这里 | |  = PP0 ）. 说明： （1） 定义中 P → P0 的方式是任意的； （2） 二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x → → （3） 二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例 2 求证 0 1 lim ( )sin 2 2 2 2 0 0 = + + → → x y x y y x 证 0 1 ( )sin 2 2 2 2 − + + x y x y 2 2 2 2 1 sin x y x y + = +  2 2  x + y    0,  =  , 当  − + −   2 2 0 (x 0) ( y 0) 时， −   + + 0 1 ( )sin 2 2 2 2 x y x y 原结论成立