《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 例1计算流，其中鱼线B是半径为的国在第一象限的部分 解半径为r的圆在第一象限的部分为区域D,由格林公式 -h+ ,所以 ∫x-∬do-ar D =4. s xdy-ydx 例2计算1=x+y,其中L为任一不包含原点的闭区域的边界 解格林公式条件满足，故 g加品小加 =0 例3计算抛物线G+ヅ=a>0)与x轴所 围的面积 解 .2 二、曲线积分与路径的无关性 单连通区域的概念：若对平面区域D内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的 点而连续收缩于D内的某一点，称D为单连通区域.否则称为复连通区域， 定理21.12设D是单连通闭区域.若函数P心k,川，Qk,川在D内连续，且 具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (i)对于D内任一按段光滑的封闭曲线L,有 手Pt+0 =0: (ⅱ)对于D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分 3 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 3 例 1 计算  AB xdy ，其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限的部分． 解 半径为 r 的圆在第一象限的部分为区域 D ，由格林公式  − D d =  −L xdy =    + + OA AB BO xdy xdy xdy =0+  + OA xdy 0=  OA xdy ,所以  OA xdy =  − D d = 4 2  r − ． 例 2 计算 I =  + − L x y xdy ydx 2 2 ，其中 L 为任一不包含原点的闭区域的边界． 解 格林公式条件满足，故 I =  + − L x y xdy ydx 2 2 =             −   D d y P x Q  =                    +  −        + −   D d x y x x y y y x  2 2 2 2 =   D 0d =0. 例 3 计算抛物线 ( ) ( 0) 2 x + y = ax a  与 x 轴所 围的面积. 解 D S =  − L xdy ydx 2 1 =  − AMO xdy ydx 2 1 +  − ONA xdy ydx 2 1 =  − AMO xdy ydx 2 1 +0= ( )   =      − −         − 0 2 6 1 1 2 2 1 a ax x dx a ax a x ． 二、曲线积分与路径的无关性 单连通区域的概念：若对平面区域 D 内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的 点而连续收缩于 D 内的某一点，称 D 为单连通区域．否则称为复连通区域． 定理 21.12 设 D 是单连通闭区域．若函数 P(x, y)，Q(x, y) 在 D 内连续，且 具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： （ⅰ）对于 D 内任一按段光滑的封闭曲线 L ，有  + L Pdx Qdy =0； （ⅱ）对于 D 内任一按段光滑的曲线 L ，曲线积分