《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 Pdx+Qdy 与路线无关.只与L的起点及终点有关： (iⅲ)Pd+Q是D内某一函数u的全微分，即 du=Pdx+Qdy; (iv)在D内处处成立yx 证明(i)→（ⅱ）如图 Ph+O-+O.P+O+Ph+O呦 「Pk+Q本 三ARRSA =0 JPt+O∫Pdk+Qd 图21-17 所以R =ASB (ⅱ)→() 设4，)为D内一定点，B川为D内任意一点，由 ∫Pt+Ow (ⅱ)曲线积分 与路线的选择无关，故当B(,)在 D内变动时，其积分值是B,以的函数，即有 t以JPh+Q .取△x充分小，使+Ax,)eD,由于积分与路线无关故 函数x,)对于的偏增量 +at.Pi+呦-P+QwPk+Q ,其中直线段BC平 行于x轴由积分中值定理可得 A如t+.I+Q.k+aA,种 0<B<1,由Px,)在D上的连续性 器卧岩-典Pt+》K)《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 4  + L Pdx Qdy 与路线无关．只与 L 的起点及终点有关； （ⅲ） Pdx + Qdy 是 D 内某一函数 u 的全微分，即 du = Pdx + Qdy ； （ⅳ）在 D 内处处成立 x Q y P   =   ． 证明 （ⅰ） → （ⅱ）如图  + ARB Pdx Qdy  − + ASB Pdx Qdy =  + ARB Pdx Qdy  + + BSA Pdx Qdy =  + ARBSA Pdx Qdy =0, 所以  + ARB Pdx Qdy =  + ASB Pdx Qdy ． （ⅱ） → （ⅲ） 设 ( ) 0 0 A x , y 为 D 内一定点， B(x, y) 为 D 内任意一点，由 （ⅱ）曲线积分  + AB Pdx Qdy 与路线的选择无关，故当 B(x, y) 在 D 内变动时，其积分值是 B(x, y) 的函数，即有 u(x, y)=  + AB Pdx Qdy ．取 x 充分小，使 (x + x, y) D ，由于积分与路线无关故 函数 u(x, y) 对于的偏增量 u(x + x, y)− u(x, y)=  + − AC Pdx Qdy  + AB Pdx Qdy =  + BC Pdx Qdy ,其中直线段 BC 平 行于 x 轴由积分中值定理可得 u = u(x + x, y)− u(x, y)=  + BC Pdx Qdy = P(x y)dx x x x  + , = P(x +x, y)x ,其中 0  1 ，由 P(x, y) 在 D 上的连续性 x u   = P(x x y) x u x x lim lim , 0 0 = +     →  →  = P(x, y)