《数学分析》下所 第二十一章二重积分 海市大学数学系 同理可证y=Qx,y以.因此du=Pk+Q山 (i)→(iv)设存在，)，使得d=P+Q, 所以P(,以=亦，川，川=可，川，因此 aP o'u 8o 8'u 因P化，Q,以在区域D内有连续的偏导数，所以 u 8'u dxdy =Oydx 从而在D内每一点处有 aP a0 dy =dx. (iw)→(i) 设L为D内任一按段光滑封闭曲线，记L所围的区域为O.由于D为单连通 aP ao 区域，所以区域G含在D内.应用格林公式及在D内恒有可=成的条件，就得 到 f+架 以上证明了所述四个条件是等价的. ap ae 注1：第二十章§2中的例1，因不满足=x,故积分与路线有关，而例 2中砂=x满足，故积分与路线无关. 生利用装K用新，引÷ 在除去原点的区域内是成立，但L为绕原点的封闭曲线时，L所围成的区域包含 aP 80 原点，=所成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零.事实上 5 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 同理可证 y u   =Q(x, y)．因此 du = Pdx + Qdy （ⅲ） → （ⅳ）设存在 u(x, y) ，使得 du = Pdx + Qdy , 所以 P(x, y)= x  u(x, y)，Q(x, y)= y  u(x, y) ，因此 y P   = x y u    2 ， x Q   = y x u    2 , 因 P(x, y)，Q(x, y) 在区域 D 内有连续的偏导数，所以 x y u    2 = y x u    2 , 从而在 D 内每一点处有 y P   = x Q   ． （ⅳ） → （ⅰ） 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线，记 L 所围的区域为  ．由于 D 为单连通 区域，所以区域  含在 D 内．应用格林公式及在 D 内恒有 y P   = x Q   的条件，就得 到  + L Pdx Qdy =            −   D d y P x Q  =0. 以上证明了所述四个条件是等价的． 注 1：第二十章§2 中的例 1，因不满足 y P   = x Q   ，故积分与路线有关，而例 2 中 y P   = x Q   满足，故积分与路线无关． 注 2：条件单连通区域是证明要的本节例 2 中，          +  −        + −   2 2 2 2 x y x x y y y x =0 在除去原点的区域内是成立，但 L 为绕原点的封闭曲线时， L 所围成的区域包含 原点， y P   = x Q   成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零．事实上