《数学分析》下册教案 第十三煮函数列与函数项级数 海南大学数学系 f(x)-f(x)<s 则称函数列{}在D上一致收敛于f,记作：()fx)(n→o),xeD。 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{f}在数集D上一致收敛的充要条件 是：对任给的正数6，总存在正数N,使得当n,m>N时，对一切x∈D,都有 fn(x)-fx<s。 (4) 证：[必要性]设∫(x)一fx)(n→)，x∈D,即对任给e>0,存在正数N, 使得当n>N时，对一切xeD,都有 L.(x)-. (5) 于是当n,m>N,由(5)就有 国-.国sU.国-f+)-f国+6 [充分性]若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，}在D上任一点都收敛，记其 极限函数为f(x),x∈D。现固定(4)式中的n,让m→o,于是当n>N时，对一切x∈D都 有 f(x)-fx≤6。由定义1，∫(x) fx)(n→o),x∈D。 定理13.2函数列U}在区间D上一致收敛于f的充要条件是： mpn)-fxy=0。 (6) 证：[必要性]若∫(x) fx)(n→o),x∈D。则对任给的正数s,存在不 依赖与x的正整数N,当n>N时，有 f(x)-fx<e,x∈D。 由上确界的定义，亦有 supf(x)-fx≤6· 则有mp/.)-fx=0. [充分性]由假设，对任给的ε>0，存在正整数N,使得当n>N,有 supl(x)-f(x)<s. (7) 因为对一切xeD,总有/(x)-fx≤sup/.(x)-fx·《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 3 f (x) − f (x)   n 则称函数列  f n 在 D 上一致收敛于 f ，记作： f (x) n f (x) (n → )， xD。 定理 13.1（函数列一致收敛的柯西准则） 函数列  f n 在数集 D 上一致收敛的充要条件 是：对任给的正数  ，总存在正数 N ，使得当 n m N ,  时，对一切 x D ，都有 f (x) − f (x)   n 。 （4） 证： [必要性] 设 f (x) n → f (x) (n → )， xD ，即对任给   0 ，存在正数 N ， 使得当 n  N 时，对一切 xD ，都有 2 ( ) ( )  f n x − f x  。 （5） 于是当 n,m  N ，由（5）就有    −  − + −  + = 2 2 f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) n m n m 。 [充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则， f n  在 D 上任一点都收敛，记其 极限函数为 f (x) ，xD 。现固定（4）式中的 n ，让 m→ ，于是当 n  N 时，对一切 xD 都 有 f (x) − f (x)   n 。由定义 1， f (x) n f (x) (n → )， xD。 定理 13.2 函数列 f n  在区间 D 上一致收敛于 f 的充要条件是： lim sup ( ) − ( ) = 0  → f x f x n x D n 。 （6） 证： [必要性] 若 f (x) n f (x) (n → )， xD 。则对任给的正数  ，存在不 依赖与 x 的正整数 N ，当 n  N 时，有 f (x) − f (x)   n ， xD。 由上确界的定义，亦有 −    sup f (x) f (x) n x D 。 则有 lim sup ( ) − ( ) = 0  → f x f x n x D n 。 [充分性] 由假设，对任给的   0 ，存在正整数 N ,使得当 n  N ，有 −    sup f (x) f (x) n x D 。 （7） 因为对一切 xD ，总有 f (x) f (x) sup f (x) f (x) n x D n −  − 