《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 故由(7)式得(x)-fx<6。于是{}在D上一致收敛于f。 例3、定义在0,1上的函数列 2x0ss品 -2-2ix 1 n=12. (8) 由于0)=0，故f0)=m.0)=0.当0<x≤1时，只要n>,就有f)=0,故在(0，上 有f)=m()=0。于是函数列(8)在0，上的极限函数)=0，又由于 即x)-fx=.2分)=n→0u→o, 所以函数列(8)在[0,1]上不一致收敛。 二、函数顶级数及其一致收敛性 设{u(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 4(x)+h2(x)+.+u(x)+.,x∈E (9) 称为定义在E上的函数顶级数，简记为∑u,(x)或∑山，(x)。称 S)=24),x∈E,n=l2 (10) 为函数顶级数(9)的部分和函数列。 若x。∈E,数顶级数4(xo)+山(x)+.+u)+ (11) 收敛，既部分和S,化，)=立4化，)当n→时极限存在，则称级数(9)在点x,收敛，x,称为 级数(9)的收敛点，若级数(11)发散，则称级数(9)在点x。发散。若级数(9)在E某个 子集D上每个点都收敛，则称级数(9)在点D上收敛，若D为级数(9)全体收敛点的集合， 这时则城D为级数(9)的收敛域。级数(9)在D上每一点x与其所对应的数项级数(11)的 和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为级数(9)的和函数，并写作 《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 4 故由（7）式得 f (x) − f (x)   n 。于是 f n  在 D 上一致收敛于 f 。 例 3、定义在 [0,1] 上的函数列            −     = 1 1 0, 1 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( ) 2 2 x n n x n n n x n n x x f x n n = 1,2,  （8） 由于 (0) 0 n f = ，故 (0) = lim (0) = 0 → n n f f 。当 0  x 1 时，只要 x n 1  ，就有 f n (x) = 0 ，故在 (0,1] 上 有 ( ) = lim ( ) = 0 → f x f x n n 。于是函数列（8）在 [0,1] 上的极限函数 f (x) = 0 ，又由于 − = = →   n n f x f x f n n x ) 2 1 sup ( ) ( ) ( [0,1] (n → )， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。 二、 函数顶级数及其一致收敛性 设 u x n ( ) 是定义在数集 E 上的一个函数列，表达式 1 2 ( ) ( ) ( ) n u x u x u x + + + + ， x E  （9） 称为定义在 E 上的函数顶级数，简记为 1 ( ) n n u x  =  或 u (x) n 。称 = = n k n k S x u x 1 ( ) ( )， xE ，n = 1,2,  （10） 为函数顶级数（9）的部分和函数列。 若 x0  E ，数顶级数 u1 (x0 ) + u2 (x0 ) ++ un (x0 ) + （11） 收敛，既部分和 = = n k n k S x u x 1 0 0 ( ) ( ) 当 n → 时极限存在，则称级数（9）在点 0 x 收敛， 0 x 称为 级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点 0 x 发散。若级数（9）在 E 某个 子集 D 上每个点都收敛，则称级数（9）在点 D 上收敛，若 D 为级数（9）全体收敛点的集合， 这时则城 D 为级数（9）的收敛域。级数（9）在 D 上每一点 x 与其所对应的数项级数（11）的 和 S(x) 构成一个定义在 D 上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作