《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 4,(x)+42(x)+.+un(x)+.=S(x),x∈D, 即mS,()=S),x∈D 也就是说，函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛性。 例4、定义在(-0，+0)上的函数项级数（几何级数） 1+x+x2+.+x"+. (12) 的分国数为@子·故时时 5()5.() 所以几何级数(2)在(-内收敛于和函数S)-文当时≥1时，几何级最是发敬的： 定义2（函数项级数一致收敛性定义）设{S,(x)}是函数项级数∑u,(x)的部分和函数列。 若{S(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数∑“，(x)在D上 一致收敛于函数S,或称4.()在D上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有 定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数∑4，(x)在D上一致收敛一对 于V>0,N,使得当n>N时，对一切x∈D和一切正整数p,都有 Sp(x)-S,(x)<, n(x)+4n42(x)+.+n+p(x)<E。 特别地，当p=1时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论：函数项级数∑4(x)在D上一致收敛的必要条件是函数列u(x)}在D上一致收敛 千0。 设立u,()=Sx),xeD,称R,()=S)-S,)为函数项级数∑，()的余项。《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x S x + ++ n += ， x D ， 即 lim S (x) S(x) n n = → ， x D 。 也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。 例 4、定义在 (−,+) 上的函数项级数（几何级数） 1+ x + x 2 ++ x n + （12） 的部分和函数为 x x S x n n − − = 1 1 ( ) 。故当 x 1 时， x S x S x n n − = = → 1 1 ( ) lim ( ) 。 所以几何级数（12）在 (−1,1) 内收敛于和函数 x S x − = 1 1 ( ) ；当 x 1 时，几何级数是发散的。 定义 2（函数项级数一致收敛性定义） 设 S x n ( ) 是函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的部分和函数列。 若 S x n ( ) 在数集 D 上一致收敛于函数 S x( ) ，则称函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上 一致收敛于函数 S(x) ，或称 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有 定理 13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛  对 于   0，N ，使得当 n  N 时，对一切 xD 和一切正整数 p ，都有 −   + S (x) S (x) n p n ， 即 + + +   + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n  n p 。 特别地，当 p = 1 时，得到函数项级数收敛的必要条件： 推论： 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛的必要条件是函数列 un (x) 在 D 上一致收敛 于 0。 设 1 ( ) n n u x  =  = S(x)， xD ，称 R (x) S(x) S (x) n = − n 为函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的余项