《数学分析》下册教案 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系一 发散，则称函数列(1)在点x。发散。则称函数列(1)在数集DcE上每一点都收敛，则称(1) 在数集D上收敛。这时收∈D,都有数列∫.(x)》的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确 定了D上的一个函数，称它为函数列{∫}的极限函数。记作∫。于是，有 im∫n(x)=f(x),xeD,或f(x)→f(x)(n→o),xeD. 函数列极限的ε-N定义对每一个固定的x∈D,对Ve>0,3N>0(注意：一般说来N 值的确定与ε和x的值都有关)，使得当n>N时，总有 f(x)-fx<6。 使函数列∫}收敛的全体收敛点的集合，称为函数列{}的收敛域。 例1、设∫(x)=x”，n=1,2,.为定义在(-0,0)上的函数列，证明它的收敛域是(-1， 且有极限函数 o (3) 证：任给e>0（不妨设e<1),当0<<1时，由于/(x)-fx=”,故只要取 Ms动品则当n>Mc闲时，线有因-长s,而当=0和=时，则对任何正 整数n,都有 fn(0)-f0以=0<e,fn()-f=0<ε。 这就证得山}在(-1，]上收敛，且有(3)式所表示的极限函数。 当>1时，则有”→+0(n→o),当x=-1时，对应的数列为-1,1，-11.它显然是发散 的。所以函数列”在区间(-1，山外都是发散的。 例公、定义在（←2四）上的函数列)-血匹，n=12,由于对任何实数x,都有 n 四六故对任给的6>0，只要>N-上就有中-水8，所以函数列0的收 敛域为无限区间(-0，+∞)，函数极限f(x)=0。 定义1、设函数列{U}与函数∫定义在同一数集D上，若对任给的正数ε，总存在某一正 整数N,使得当n>N时，对一切的x∈D,都有 《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 2 发散，则称函数列（1）在点 0 x 发散。则称函数列（1）在数集 D  E 上每一点都收敛，则称（1） 在数集 D 上收敛。这时 xD ，都有数列 { f (x)} n 的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确 定了 D 上的一个函数，称它为函数列 { }n f 的极限函数。记作 f 。于是，有 lim f (x) f (x) n n = → ， xD ，或 f (x) f (x) n → (n → )， xD。 函数列极限的  − N 定义 对每一个固定的 xD ，对   0，N  0 （注意：一般说来 N 值的确定与  和 x 的值都有关），使得当 n  N 时，总有 f (x) − f (x)   n 。 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列 { }n f 的收敛域。 例 1、 设 n n f (x) = x ， n = 1,2,  为定义在 (−,) 上的函数列，证明它的收敛域是 (−1,1]， 且有极限函数    =  = 1, 1 0, 1 ( ) x x f x （3） 证： 任给   0 （不妨设  1 ），当 0  x 1 时，由于 n n f (x) − f (x) = x ，故只要取 x N x ln ln ( , )   = ，则当 n  N( , x) 时，就有 f (x) − f (x)   n 。而当 x = 0 和 x =1 时，则对任何正 整数 n ，都有 f (0) − f (0) = 0   n ， f (1) − f (1) = 0   n 。 这就证得 f n  在 (−1,1] 上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。 当 x 1 时，则有 x → +(n → ) n ，当 x = −1 时，对应的数列为−1,1,−1,1,  它显然是发散 的。所以函数列   n x 在区间 (−1,1] 外都是发散的。 例 2、 定义在 (−,+) 上的函数列 n nx f x n sin ( ) = ，n = 1,2,  ，由于对任何实数 x ，都有 n n sin nx 1  ，故对任给的   0 ，只要  1 n  N = ，就有 − 0   sin n nx 。所以函数列       n sin nx 的收 敛域为无限区间 (−,+) ，函数极限 f (x) = 0。 定义 1、 设函数列 f n  与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数  ，总存在某一正 整数 N ，使得当 n  N 时，对一切的 xD ，都有